Estimación de la masa de Abell 2218 en masas solares

Problema

Los arcos con lentes más grandes de Abell 2218 tienen un radio angular θE de aproximadamente 1.0 minuto de arco. Este cúmulo es uno de los más distantes en el catálogo de Abell: con un desplazamiento al rojo de $z = 0.17$, y se encuentra a una distancia de aproximadamente 700 Mpc de la Tierra. Usando estos valores, estimar la masa de Abell 2218 en masas solares. Suponga que el grupo está a medio camino entre las galaxias de fondo y la Tierra

Solución

Para estimar la masa del cúmulo de Abell 2218 utilizando el radio angular de los arcos gravitacionales $\theta_E$ y asumiendo que el cúmulo actúa como una lente gravitacional perfectamente alineada entre las galaxias de fondo y la Tierra, podemos usar la ecuación de la lente gravitacional para un modelo de lente puntual. La ecuación que relaciona la masa de la lente $M$ con el radio de Einstein $\theta_E$ es:

$$
M = \frac{c^2}{4G} \frac{D_L D_S}{D_{LS}} \theta_E^2
$$

donde:

• $c$ es la velocidad de la luz $3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}$.
• $G$ es la constante gravitacional $6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$.
• $D_L$ es la distancia al lente (cúmulo de Abell 2218), que es (700) Mpc.
• $D_S$ es la distancia a la fuente (galaxias de fondo).
• $D_{LS}$ es la distancia entre el lente y la fuente.
• $\theta_E$ es el radio de Einstein, convertido a radianes para usar en la ecuación.

Para simplificar, si asumimos que el cúmulo está a medio camino entre las galaxias de fondo y la Tierra, entonces $D_L = D_{LS} = \frac{D_S}{2}$. Esto simplifica la ecuación a:

$$
M = \frac{c^2}{4G} \frac{D_L^2}{D_L} \theta_E^2 = \frac{c^2}{4G} D_L \theta_E^2
$$

Primero, necesitamos convertir el radio de Einstein de minutos de arco a radianes y la distancia $D_L$ de Mpc a metros para realizar el cálculo:

• $\theta_E$ en radianes: $\theta_E = 1.0 \, \text{minuto de arco} \times \frac{\pi}{180 \times 60}$.
• $D_L$ en metros: $D_L = 700 \, \text{Mpc} \times 3.086 \times 10^{22} \, \text{m/Mpc}$.

Luego, podemos calcular la masa $M$ y convertirla a masas solares $M_{\odot}$, donde $1 M_{\odot} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}$.

Procedamos con el cálculo.

La masa del cúmulo de Abell 2218, estimada utilizando el radio angular de los arcos gravitacionales más grandes y asumiendo que el cúmulo actúa como una lente gravitacional perfectamente alineada, es aproximadamente $3.10 \times 10^{14}$ masas solares.

Este cálculo nos proporciona una estimación de la masa total del cúmulo, incluyendo tanto la materia visible (como galaxias y gas intergaláctico) como la materia oscura, que es la principal contribuyente a la masa total. La técnica de lentes gravitacionales es una herramienta poderosa en astronomía para medir la masa de objetos cósmicos distantes, ya que permite estimaciones directas de la masa total (incluyendo materia oscura) basadas en los efectos gravitacionales, independientemente de la luminosidad del objeto.

---

1. Definición de variables y constantes:

• Velocidad de la luz, $c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}$.
• Constante gravitacional, $G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$.
• Radio de Einstein, $\theta_E$, convertido de minutos de arco a radianes: $\theta_E = 1.0 \times \frac{\pi}{180 \times 60}$.
• Distancia al lente (cúmulo de Abell 2218), $D_L$, en metros: $D_L = 700 \times 3.086 \times 10^{22} \, \text{m}$.

1. Cálculo de la masa del cúmulo:

La masa del cúmulo se calcula utilizando la ecuación derivada del principio de la lente gravitacional para un modelo de lente puntual:

$$
M = \frac{c^2}{4G} D_L \theta_E^2
$$

Sustituyendo los valores:

$$
M = \frac{(3.00 \times 10^8)^2}{4 \times 6.674 \times 10^{-11}} \times 700 \times 3.086 \times 10^{22} \times \left(1.0 \times \frac{\pi}{180 \times 60}\right)^2
$$

3. Conversión de la masa a masas solares:

La masa obtenida en kilogramos se convierte a masas solares utilizando la masa del Sol, $1 M_{\odot} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}$:

$$
M_{\text{cúmulo}} = \frac{M}{1.989 \times 10^{30}}
$$

El resultado final, aproximadamente $3.10 \times 10^{14}$ masas solares, indica la masa total del cúmulo de Abell 2218, reflejando tanto la materia visible como la materia oscura que compone la mayor parte de la masa del cúmulo. Este cálculo demuestra la utilidad de las lentes gravitacionales como una herramienta poderosa para medir la masa de estructuras cósmicas distantes, proporcionando información valiosa sobre la distribución de la materia oscura en el universo.