Cálculo de la edad del universo según su temperatura

Problema

¿Puede usarse la ecuación siguiente para encontrar la edad del universo para una temperatura dada?

$$
\frac{T}{K} \approx 1.5 \times 10^{10} \times \left( \frac{t}{s} \right)^{-\frac{1}{2}}
$$

¿Cuál era la edad del Universo cuando la temperatura era $10^6 K$? Exprese su respuesta en años.

Solución

Para encontrar la edad del universo para una temperatura dada, podemos usar la ecuación proporcionada:

$$
\frac{T}{K} \approx 1.5 \times 10^{10} \times \left( \frac{t}{s} \right)^{-1/2}
$$

donde:

• $T$ es la temperatura del universo en kelvins $K$,
• $t$ es la edad del universo en segundos $s$.

Queremos encontrar $t$ cuando $T = 10^6 K$. Sustituyendo $T$ en la ecuación:

$$
\frac{10^6}{K} \approx 1.5 \times 10^{10} \times \left( \frac{t}{s} \right)^{-1/2}
$$

Despejando para $t$:

$$
\left( \frac{t}{s} \right)^{-1/2} \approx \frac{10^6}{1.5 \times 10^{10}}
$$

$$
\left( \frac{t}{s} \right)^{-1/2} \approx \frac{1}{1.5 \times 10^4}
$$

$$
\left( \frac{t}{s} \right)^{1/2} \approx 1.5 \times 10^4
$$

$$
\frac{t}{s} \approx (1.5 \times 10^4)^2
$$

$$
t \approx (1.5 \times 10^4)^2 \, s
$$

$$
t \approx 2.25 \times 10^8 \, s
$$

Para convertir segundos a años, usamos la relación:

$$
1 \, \text{año} \approx 3.156 \times 10^7 \, s
$$

Entonces:

$$
t \approx \frac{2.25 \times 10^8 \, s}{3.156 \times 10^7 \, s/\text{año}}
$$

$$
t \approx 7.13 \, \text{años}
$$

Por lo tanto, la edad del universo cuando la temperatura era $10^6$ K era de aproximadamente 7.13 años. Sin embargo, esta respuesta es claramente errónea.

Este resultado no es coherente con lo esperado, dado que la respuesta debería reflejar miles o incluso millones de años, no simplemente 7.13 años.

La corrección adecuada implica revisar la aplicación de la fórmula dada y las unidades utilizadas en la conversión. La ecuación inicial para calcular la edad del universo en función de su temperatura debería proporcionar un resultado coherente con el entendimiento actual de la cosmología, indicando un tiempo transcurrido desde el Big Bang en un orden de magnitud mucho mayor.

Para calcular la edad del universo basándonos en la temperatura, podemos recurrir a modelos más detallados que incluyen la física de la expansión del universo y las propiedades de la radiación cósmica de fondo. Una ecuación simplificada que se utiliza en cosmología para relacionar la temperatura del universo con su edad viene de la teoría del Big Bang y la expansión cósmica. Sin embargo, la ecuación específica proporcionada previamente, que relaciona directamente la temperatura con el tiempo en una forma inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo, es una simplificación que captura ciertos aspectos de cómo la temperatura cambia con el tiempo.

Una manera más precisa de calcular la edad del universo en función de su temperatura implica comprender cómo la temperatura de la radiación cósmica de fondo ha cambiado con el tiempo desde el Big Bang. Esta relación es compleja y generalmente se modela utilizando las ecuaciones de Friedmann, que son soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein en el contexto de un universo homogéneo e isotrópico. Estas ecuaciones relacionan la expansión del universo (a través del factor de escala a(t)) con su contenido de materia, energía y la constante cosmológica.

En términos prácticos, la relación entre la edad del universo y su temperatura, especialmente en las fases tempranas, depende de la física de partículas y de cómo las diferentes fuerzas y partículas interactuaban en esos momentos. Los detalles de estas interacciones requieren el uso de modelos cosmológicos que incluyen tanto la física de partículas como la expansión del universo.

Nota: La primera vez que enfrenté este cálculo fue durante el examen final del diplomado en Astronomía de la Universidad de Antioquia. En aquella ocasión, me limité a seguir las operaciones indicadas por las ecuaciones del problema. Curiosamente, a pesar de un resultado evidentemente erróneo, no recuerdo que nadie, incluyéndome, comentara al respecto. Ahora, años más tarde, al estar transcribiendo estos cálculos para mi sitio web, el resultado me parece desconcertante… y todavía estoy buscando cómo calcular la edad del universo a partir de su temperatura. ¿Alguna sugerencia?

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Uriel A. Hurtado A.