Calcular la densidad de energía promedio actual debido a la materia

$E = mc^2$

El cálculo de la densidad de energía promedio actual debido a la materia en el universo, tanto luminosa como oscura, mediante la famosa ecuación de Einstein
$E = mc^2$, es un pilar fundamental en la cosmología y la física teórica.

Esta ecuación no solo establece una relación directa entre la masa y la energía, una de las ideas más revolucionarias en la física, sino que también nos permite entender cómo la materia contribuye a la estructura y dinámica del universo. Este cálculo nos ayuda a cuantificar la energía total presente en el cosmos derivada de su contenido masivo, un paso crucial para comprender la evolución del universo y su comportamiento a gran escala.

Problema

Se estima que la densidad de masa promedio actual de toda la materia, tanto luminosa como oscura, es aproximadamente $\rho_{m,0} \approx 3 \times 10^{-27}\, \text{kg/m}^3$. Usando la equivalencia entre la energía $E$ y masa $m$ dada por $E = mc^2$, calcule la densidad de energía promedio actual debido a la materia.

Solución

Para calcular la densidad de energía promedio actual debido a la materia, usaremos la famosa ecuación de la relatividad de Einstein, $E = mc^2$, donde $E$ es la energía, $m$ es la masa, y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. La densidad de masa promedio actual de toda la materia, incluyendo materia luminosa y oscura, se ha dado como $\rho_{m,0} \approx 3 \times 10^{-27} \, \text{kg/m}^3$.

La densidad de energía debida a la materia, $\rho_{E,0}$, se puede calcular como:

$$
\rho_{E,0} = \rho_{m,0} c^2
$$

Donde:

• $\rho_{m,0} = 3 \times 10^{-27} \, \text{kg/m}^3$
• $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ (velocidad de la luz en el vacío)

Sustituyendo estos valores en la ecuación:

$$
\rho_{E,0} = 3 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}^2 \cdot \text{m}^{-3}
$$

$$
\rho_{E,0} = 3 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}
$$

$$
\rho_{E,0} = 27 \times 10^{-11} \, \text{J/m}^3
$$

$$
\rho_{E,0} = 2.7 \times 10^{-10} \, \text{J/m}^3
$$

Por lo tanto, la densidad de energía promedio actual debida a toda la materia, tanto luminosa como oscura, es aproximadamente $2.7 \times 10^{-10} \, \text{J/m}^3$. Este cálculo muestra cómo la masa del universo contribuye a la densidad de energía total, un componente crucial en la dinámica y evolución del cosmos según lo descrito por la cosmología moderna.

La determinación de la densidad de energía promedio actual debida a la materia en el universo es un ejercicio esencial para la cosmología. Al aplicar la equivalencia entre masa y energía de Einstein, hemos podido cuantificar esta densidad como aproximadamente $2.7 \times 10^{-10} \, \text{J/m}^3$, un resultado que subraya la impresionante escala de energía contenida incluso en la baja densidad de masa del universo.

Este cálculo es crucial para modelar la evolución del universo, entender la expansión cósmica y estudiar el destino final del cosmos. Además, resalta la extraordinaria capacidad de la teoría de la relatividad para enlazar conceptos físicos fundamentales con la comprensión del universo a escala cósmica.

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Uriel A. Hurtado A.