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Para calcular la masa de Ío puede ser interesante calcular la masa de la luna terrestre por su relativa simplicidad (un sólo satélite orbitando a un planeta):

\LARGE T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3

T^2 = 4\pi^2G(M+m)a^3
T^2 = 4\pi^2G(M+m)a^3

Donde:

a = 3.84 \times 10^8 \, \text{m}

(Distancia tierra - luna)

T = 2.36 \times 10^6 \, \text{s}

(Período lunar en segundos = 27.3 días)

M = 5.98 \times 10^{24} \, \text{kg}

(Masa de la tierra en kilogramos)

G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2

(Constante gravitacional en

Nm 2 /kg 2

Tenemos dos fuerzas iguales y opuestas: La fuerza gravitacional y la fuerza centrípeta:

\huge F_{g}=F_{c}

Luego, igualando ambas ecuaciones:

Reemplazando  tenemos:

\LARGE \frac{GM}{a^3}=\left (\frac{2\pi}{T} \right )^2\rightarrow \frac{GM}{a^3}=\frac{4\pi^2}{T^2}
\LARGE \therefore \frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}

Siendo (La constante de Kepler )

Se deduce que:

  1. Conociendo la constante de Kepler (que al parecer es casi constante para la mayoría de los planetas del sistema solar) se puede conocer la masa (M)del cuerpo central.
  2. Esta expresión es válida para órbitas circulares y elípticas.
  3. K no es del todo "constante", siendo una aproximación que se deduce de la leyes de Newton
\LARGE \frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}\rightarrow \frac{T^2}{a^3}(M+m)=\frac{4\pi^2}{G}

Como   \dpi{80} \LARGE m<<M(la masa del sol es muy superior a la masa de cualquier planeta) se simplifica a:

\LARGE M+m \approx M

Reemplazando los valores en la siguiente ecuación tenemos:

\huge m=\frac {4\pi^2a^3}{GT^2}-M
\large m=\frac {4\pi^2(3.84(10^8)m)^3}{6.67(10^{-11}Nm^2/kg^2) (2.36(10^6)s)^2}-5.98(10^{24}kg)=3.73264(10^{22})kg

El valor correcto es:

7.34 \times 10^{22} \, \text{kg}

El cálculo es un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobre el periodo de la Luna, las perturbaciones de otros planetas, y la no esfericidad de la Tierra. La órbita de la Luna no es circular aunque el resultado (tercera ley de Kepler) es válido también para órbitas elípticas.

Se demuestra que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos.

\frac{GM}{a^3} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \rightarrow \frac{GM}{a^3} = \frac{4\pi^2}{T^2}

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Uriel Antonio Hurtado Arias
Uriel Antonio Hurtado Arias
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