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Cálculo de la masa de Ío
Se sabe que la distancia media del satélite Io a Júpiter es de 421800 Km, que su periodo de traslación es de 1 día y 18 horas y además, que la masa de Júpiter es 1.898 × 1027 Kg. Con estos datos calcule la masa de Io con ayuda de la tercera ley de Kepler.
\LARGE T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3
Calculando la masa de Ío mediante la tercera ley de Kepler
a=4.22×108m
(Distancia júpiter - ío)
T=1.53×105s
(Período lunar en segundos = 1 día, 18 horas, 28.79229 minutos)
M=1.89×1027 kg
(Masa de júpiter en kilogramos)
G=6.67x 10-11
(Constante gravitacional en Nm2/kg2)
Reemplazando los valores en la siguiente ecuación tenemos:
\huge m=\frac {4\pi^2a^3}{GT^2}-M
\large m=\frac {4\pi^2(4.22(10^8)m)^3}{6.67(10^{-11}Nm^2/kg^2) (1.53(10^5)s)^2}-1.89(10^{27}kg)=9.25(10^{24})kg
El valor más exacto es:
8.94x1022kg
Este cálculo se basa en un modelo simplificado, la diferencia en el cálculo se debe probablemente a algunas variables que no se tienen en cuenta:
- Su excentricidad
- Resonancia orbital con los demás satélites galileanos
- La gravedad del sol
- Entre otras
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Cálculo de la masa de la Luna
Para calcular la masa de Ío puede ser interesante calcular la masa de la luna terrestre por su relativa simplicidad (un sólo satélite orbitando a un planeta):
\LARGE T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3
Donde:
a=3.84×108m
(Distancia tierra - luna)
T=2.36×106s
(Período lunar en segundos = 27.3 días)
M=5.98×1024 kg
(Masa de la tierra en kilogramos)
G=6.67x 10-11
(Constante gravitacional en Nm2/kg2)
Tenemos dos fuerzas iguales y opuestas: La fuerza gravitacional y la fuerza centrípeta:
\huge F_{g}=F_{c}
Luego, igualando ambas ecuaciones:
\LARGE \frac{GMm}{a^3}=mw^2 \rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}\therefore \frac{GM}{a^3}=\omega ^2
Reemplazando tenemos:
\LARGE \frac{GM}{a^3}=\left (\frac{2\pi}{T} \right )^2\rightarrow \frac{GM}{a^3}=\frac{4\pi^2}{T^2}
\LARGE \therefore \frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}
Siendo (La constante de Kepler )
Se deduce que:
- Conociendo la constante de Kepler (que al parecer es casi constante para la mayoría de los planetas del sistema solar) se puede conocer la masa (M)del cuerpo central.
- Esta expresión es válida para órbitas circulares y elípticas.
- K no es del todo "constante", siendo una aproximación que se deduce de la leyes de Newton
\LARGE \frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}\rightarrow \frac{T^2}{a^3}(M+m)=\frac{4\pi^2}{G}
Como (la masa del sol es muy superior a la masa de cualquier planeta) se simplifica a:
\LARGE M+m \approx M
Reemplazando los valores en la siguiente ecuación tenemos:
\huge m=\frac {4\pi^2a^3}{GT^2}-M
\large m=\frac {4\pi^2(3.84(10^8)m)^3}{6.67(10^{-11}Nm^2/kg^2) (2.36(10^6)s)^2}-5.98(10^{24}kg)=3.73264(10^{22})kg
El valor correcto es
7.34 x 1022 kg
El cálculo es un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobre el periodo de la Luna, las perturbaciones de otros planetas, y la no esfericidad de la Tierra. La órbita de la Luna no es circular aunque el resultado (tercera ley de Kepler) es válido también para órbitas elípticas.
Se demuestra que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos.
