Usando el corrimiento al rojo para calcular la distancia de una galaxia

Usando un valor de la constante de Hubble de $H_0 = 72 \, \text{km/s/Mpc}$, calcular la distancia de una galaxia que tiene un desplazamiento al rojo de $z = 0.048$.

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Para calcular la distancia a una galaxia utilizando su desplazamiento al rojo $z$ y la constante de Hubble $H_0$, podemos usar la relación de la ley de Hubble para distancias relativamente cercanas (dentro del universo local), donde los efectos de la aceleración del universo son mínimos. La ley de Hubble se expresa como:

$$
v = H_0 \times d
$$

donde:

• $v$ es la velocidad de recesión de la galaxia, derivada del desplazamiento al rojo $z$ mediante la relación $$v = z \times c$$ con $c$ siendo la velocidad de la luz $$c = 3.00 \times 10^8 m/s$$
• $H_0$es la constante de Hubble, dada como $$72 \, \text{km/s/Mpc}$$
• $d$ es la distancia a la galaxia en megaparsecs $Mpc$

Primero, convertimos la constante de Hubble a unidades coherentes con las otras cantidades que estamos usando. Dado que $$1 \, \text{Mpc} = 3.086 \times 10^{22} m$$ y $$1 \, \text{km} = 1000 m$$ tenemos:

$$
H_0 = 72 \, \text{km/s/Mpc} = \frac{72 \times 1000 \, \text{m/s}}{3.086 \times 10^{22} \, \text{m}} = \frac{72 \times 10^3}{3.086 \times 10^{22}} \, \text{s}^{-1}
$$

Calculamos $v$ usando el desplazamiento al rojo $z = 0.048$:

$$
v = z \times c = 0.048 \times 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}
$$

Ahora, podemos despejar $d$ de la ley de Hubble:

$$
d = \frac{v}{H_0}
$$

Sustituyendo $v$ y $H_0$ en esta fórmula, obtenemos:

$$
d = \frac{0.048 \times 3.00 \times 10^8}{\frac{72 \times 10^3}{3.086 \times 10^{22}}} \, \text{m}
$$

Finalmente, para encontrar $d$ en $Mpc$, dividimos el resultado por $3.086 \times 10^{22}m/Mpc$

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Vamos a realizar estos cálculos paso a paso.

Después de realizar los cálculos, encontramos que la distancia a la galaxia, utilizando un desplazamiento al rojo de $z = 0.048$ y una constante de Hubble de $72 \, \text{km/s/Mpc}$, es de aproximadamente (200) megaparsecs (Mpc).

El desarrollo detallado de los cálculos es el siguiente:

1. Convertimos la constante de Hubble a unidades coherentes $\text{s}^{-1}$:

$$
H_0 = \frac{72 \times 10^3 \, \text{m/s}}{3.086 \times 10^{22} \, \text{m}} \approx 2.33 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}
$$

2. Calculamos la velocidad de recesión $v$ usando el desplazamiento al rojo $z$:

$$
v = z \times c = 0.048 \times 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s} = 1.44 \times 10^7 \, \text{m/s}
$$

3. Despejamos $d$ en la ley de Hubble y sustituimos $v$ y $H_0$:

$$
d = \frac{v}{H_0} = \frac{1.44 \times 10^7 \, \text{m/s}}{2.33 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}} \approx 6.17 \times 10^{24} \, \text{m}
$$

4. Convertimos $d$ a megaparsecs $Mpc$:

$$
d \approx \frac{6.17 \times 10^{24} \, \text{m}}{3.086 \times 10^{22} \, \text{m/Mpc}} = 200 \, \text{Mpc}
$$

Por lo tanto, la distancia calculada a la galaxia es de aproximadamente $200$ Mpc

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Este cálculo se basa en la relación lineal entre la velocidad de recesión de las galaxias y su distancia en el universo local, lo que nos permite estimar distancias cósmicas de manera relativamente sencilla.

Este resultado subraya la utilidad de la ley de Hubble en la cosmología para determinar distancias a objetos astronómicos lejanos basándose en su desplazamiento al rojo. Aunque este método es más preciso para distancias relativamente cercanas dentro del universo observable, proporciona una herramienta fundamental para entender la estructura y expansión del universo. Además, el valor específico de la constante de Hubble $H_0$ es crucial para estas estimaciones, y las diferencias en su valor pueden llevar a variaciones en las distancias calculadas, lo que refleja la importancia de precisar aún más esta constante en la investigación astronómica.

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Uriel Antonio Hurtado Arias