La lámpara de Thomson

Es de rigor para la entrada de hoy un agradecimiento especial a Alberto (que suele comentar como Proyecto#194), quien me habló sobre la paradoja de la que voy a hablar hoy, y que me ha parecido (como espero que os pase a vosotros) verdaderamente fascinante: ¡gracias, Alberto!

La paradoja en cuestión fue propuesta por el filósofo James Thomson en 1954, y se denomina la paradoja de la lámpara de Thomson. Hay versiones alternativas por ahí, y aquí, por supuesto, vamos a dar una versión ligeramente alterada: como sabéis los veteranos, me encantan los experimentos mentales, y muy especialmente, por razones morbosas, los que involucran alienígenas malvados y la posibilidad de morir, de modo que la lámpara de Thomson de El Tamiz va a tener ambos. Por cierto, no existe consenso sobre la solución de la paradoja, de modo que el objetivo de este artículo no es “enseñarte” nada, sino simplemente que pensemos juntos - es el viaje el que merece la pena, no el destino, de modo que no te sientas decepcionado si, al final, no llegamos a ninguna parte.

Thomson propuso un experimento mental que consiste en lo que en filosofía se conoce como una supertarea, una tarea que involucra infinitos pasos pero que tiene lugar en un tiempo finito. Algo así, en computación, sería una máquina capaz de realizar infinitas operaciones en un tiempo finito, algo imposible. Pero antes de entrar en la supertarea de Thomson, un breve paréntesis histórico para tener cierto contexto.

Probablemente has oído hablar de las paradojas de Zenón de Elea, como la de Aquiles y la tortuga o la de la flecha. No vamos a entrar en ellas aquí, pero todas ellas giran alrededor del mismo concepto, el de que el movimiento es imposible puesto que ir de un lugar a otro requiere infinitos pasos intermedios (hay que recorrer la mitad del camino, para lo que hay que recorrer la mitad de la mitad del camino, para lo que…). Dicho en términos filosóficos más modernos, el argumento de Zenón sería algo así:

1. El movimiento es una supertarea, pues involucra infinitos pasos intermedios.
2. Las supertareas son imposibles.
3. Por lo tanto, el movimiento es imposible, es una ilusión.

Sin embargo, hoy en día nadie pone en cuestión que el movimiento es posible, de modo que los filósofos posteriores han tomado una de estas dos posiciones:

• El movimiento no es una supertarea, o bien
• Las supertareas no son imposibles.

James Thomson pertenece al primer grupo: en su opinión, el movimiento no es una supertarea, es decir, no involucra infinitos pasos intermedios. Por lo tanto, Thomson trató de poner de manifiesto, con una paradoja similar a la de Zenón pero con una diferencia fundamental, que las supertareas son imposibles (otros filósofos, por supuesto, pertenecen al segundo grupo y piensan que las supertareas son lógicamente posibles).

Los que sostienen que las supertareas son posibles demuestran matemáticamente que la serie de tiempos que se tardaría en las paradojas de Zenón, aunque tiene términos infinitos, es convergente y tiene un valor finito. Pero a Thomson esa demostración no le vale, de modo que plantea una paradoja algo diferente que no es resoluble simplemente sumando la serie.

Aquí tienes la paradoja de la lámpara de Thomson, versión de El Tamiz (en la versión original no muere nadie ni hay alienígenas, está simplemente la lámpara):

Una raza muy avanzada de alienígenas malvados ha conquistado la Tierra y esclavizado a los humanos, y se dedican a realizar retorcidos y crudelísimos experimentos matemáticos y filosóficos con ellos. Tú, querido lector, has sido capturado por las infectas criaturas, y estás en una habitación con una de ellas. En la habitación hay una mesa con una lámpara.

El alienígena te dice: “Terrícola, esta lámpara de tecnología más avanzada que cualquier cosa que tu patética mente pueda imaginar funciona de la siguiente manera: va a encenderse, y permanecerá encendida durante un segundo. A continuación se apagará, y permanecerá apagada durante medio segundo. A continuación se encenderá, y permanecerá encendida durante un cuarto de segundo. A continuación se apagará, y permanecerá apagada durante un octavo de segundo… y así hasta el infinito. Y la lámpara sólo puede estar en uno de esos dos estados: apagada o encendida. No hay estados intermedios”.

“Tengo dos preguntas para ti”, continúa la babosa criatura, con un brillo malévolo en los ojos. “Si consigues responder a las dos correctamente, te dejaremos vivir. Si no, serás un apetitoso canapé”. (Al decir esto, el monstruo se relame con una lengua púrpura y húmeda). “La primera pregunta es, ¿cuánto tiempo durará el proceso completo? Y la segunda pregunta es, cuando acabe el proceso, ¿se encontrará la lámpara encendida o apagada? ¡Responde, aperiti… quiero decir, humano!”

Piensa qué contestarías durante unos minutos - la primera pregunta, si sabes matemáticas, no debería ser demasiado difícil, pero la segunda -que es el núcleo de la paradoja de Thomson- se las trae. Cuando hayas dedicado cierto tiempo a pensarlo, sigue leyendo.

Bien, la respuesta a la primera pregunta, matemáticamente hablando, no es demasiado difícil. Si cada paso “encendido”, “apagado”, “encendido”, etc., dura la mitad del anterior, lo que el alienígena te está preguntando es básicamente cuál es el valor de la suma de infinitos términos (es decir, la serie)

S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

Esa serie es convergente (es una serie geométrica de término general 1/2n), y su valor es exactamente 2. De modo que tu respuesta a la primera pregunta debería ser que el proceso completo dura un total de dos segundos. Hasta aquí, se trata de algo parecido a las paradojas de Zenón, pero recuerda que Thomson opina que las supertareas no son posibles, es decir, que la suma matemática que acabamos de hacer no tiene ningún sentido. De acuerdo con él, ese proceso lleva a una contradicción, que es la segunda pregunta.

¿Cómo acaba la lámpara, encendida o apagada? El problema es que la lámpara se enciende y apaga cada vez más deprisa (de hecho, el doble de rápido cada vez), de modo que, cuando el proceso completo ha acabado -y el proceso completo acaba, porque requiere de un tiempo finito- el tiempo que permanece encendida o apagada es cero.

Dicho de otra manera: la primera pregunta simplemente requiere saber cuál es el valor de la suma anterior, pero la segunda pregunta requiere saber cuál fue el último término sumado, y no hay un último término, pues son infinitos -aunque sean infinitamente pequeños-.

De acuerdo con Thomson, la segunda pregunta es el equivalente de decir que el primer término de la suma es impar (encendido), el segundo par (apagado), el tercero impar (encendido), el cuarto par (apagado)….¿y el último término es par, o impar?. Es algo así como preguntar si el infinito es par o impar, lo cual, según Thomson, no tiene sentido: la lámpara, lógicamente, no puede estar ni encendida ni apagada. Pero, si el proceso dura exactamente dos segundos, la lámpara debe acabar encendida o apagada cuando han pasado los dos segundos. ¡Es una contradicción, un absurdo! La conclusión de Thomson es, pues, que el propio concepto de la supertarea no tiene sentido, es imposible.

Otra manera de razonar (también de Thomson): cuando han pasado los dos segundos, la lámpara no puede estar apagada, pues el tiempo que tarda hasta encenderse otra vez es cero. Pero no puede estar encendida, pues el tiempo que tarda hasta apagarse es cero. Luego la lámpara no puede estar ni apagada ni encendida, pero debe acabar o bien apagada o encendida, pues son los dos únicos estados posibles. Absurdo.

Thomson también dio otra versión alternativa, que muestra una vez más cómo el concepto de infinito (e infinitesimal) no es comprensible para nosotros. Imagina que la lámpara está en un estado 1 (encendida) o 0 (apagada). La pregunta “¿acaba la lámpara encendida o apagada?” es equivalente a preguntar cuánto vale la suma de esta serie:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 …

Si te fijas, los valores consecutivos de la serie sumando un término, dos, tres, etc., son:

1, 0, 1, 0, 1, 0 …

Esa serie, denominada serie de Grandi, es divergente de acuerdo con la matemática moderna (aunque, curiosamente, en épocas pasadas no estaba tan claro, y existe una demostración que le da el valor de 1/2). Pero ¿qué quiere decir “es divergente” en términos de la lámpara? ¿que no acaba ni encendida ni apagada? ¿que acaba encendida y apagada a la vez? ¿pero qué demonios…?

Hay varios argumentos para tratar de rebatir la contradicción. El primero de ellos es físico: hay gente que sostiene que cualquier forma real que pudiéramos construir de la lámpara de Thomson requeriría, tarde o temprano, que algo rompiese la velocidad de la luz, de modo que no podría ocurrir que se construyera dicha máquina (¡pero no subestimes a nuestros malvados y avanzados alienígenas!). Algunos, sin embargo, han propuesto experimentos que utilizasen a un observador cayendo en un agujero negro que mirase una lámpara que se enciende y apaga cada segundo fuera del agujero: para el que cae, la lámpara seguiría una sucesión de estados similar a la de Thomson.

Otros afirman que la suma total está definida (es de 2 segundos), pero el último término no: habría que realizar el experimento físicamente, y tal vez la lámpara acabase encendida, o bien apagada, en distintas pruebas del experimento. Sin embargo, una vez más, esto entra en el aspecto físico del asunto: ¿cómo resolver la contradicción lógica?

El argumento de Thomson, naturalmente, es que es imposible resolver el problema de la lámpara sin caer en una contradicción lógica, lo cual, según él, demuestra la imposibilidad de las supertareas. Hay gente que piensa que argumentos como el suyo demuestran que nuestras matemáticas son imperfectas, y que el momento en el que decimos “la suma de los infinitos términos es igual a 2” estamos dando un salto injustificable, y que el infinito no debería ser parte de las matemáticas. Otros sostienen, como hemos dicho, que como experimento mental no tiene solución pero si se realizase físicamente sí la tendría.

Incluso se ha llegado a introducir la mecánica cuántica en el asunto, de modo que tal vez el estado de la lámpara al final del proceso no está determinado hasta que es observado, momento en el que su función de onda se colapsa y medimos si está encendida o apagada, sin que la pregunta tenga sentido antes de la observación.

Pero bueno, ¿qué deberías haber contestado al alienígena para sobrevivir? En lo que a la respuesta formal a la paradoja se refiere, la verdad, no lo sé: como he dicho, hay opiniones diversas de gente que sabe muchas más matemáticas y filosofía que yo, y no se ponen de acuerdo. El objetivo del artículo no es llegar a una conclusión sino hacerte pensar.

Sin embargo, aunque te parezca un truco, apliquemos el razonamiento lógico, no a la paradoja, sino a la situación concreta del alienígena. La conclusión más probable es que el alienígena está mintiendo, y su lámpara no puede hacer lo que dice que hace. Independientemente de la posibilidad física, si su lámpara puede realizar una supertarea físicamente, eso quiere decir que la raza alienígena tiene, en la práctica, ordenadores capaces de realizar infinitas operaciones en un tiempo finito, es decir, una capacidad de computación infinita, lo cual implica, necesariamente, que conocen absolutamente todos los secretos del Universo, y no tendría sentido que hicieran este experimento, pues ya saben lo que vas a decir y por qué.

De modo que la respuesta debería ser algo así como “Estás mintiendo y tu lámpara no hace lo que dices que hace”. A lo que el alienígena, naturalmente, respondería algo como “Grompf, grompf, grompf” (el sonido de tus huesos al ser triturados por sus poderosas mandíbulas). Pero esto, al fin y al cabo, no era el objetivo del artículo: si te ha hecho pensar y plantearte cosas que antes no te habías planteado, bienvenido sea.

Hablaremos de otros conceptos interesantes de supertareas, y el concepto de infinito, en posteriores artículos - aunque no sea una serie propiamente dicha, al menos por ahora. ¡Espero que hayáis disfrutado este artículo, aunque sea muy diferente a la mayoría de los de El Tamiz y, una vez más, gracias, Alberto!

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Créditos: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/