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Si el Sol se encuentra a 8.5 kpc del centro de galaxia, y se mueve en una órbita circular a 220 km/s, cuanto tiempo le toma completar una vuelta? Expresar la respuesta en segundos y en años.
Para calcular el tiempo que le toma al Sol completar una vuelta alrededor del centro de la galaxia, podemos usar la fórmula del período orbital en una órbita circular:
$$ T = \frac{2\pi r}{v} $$
donde:
Dado que el radio ( r ) se da en kiloparsecs (kpc) y la velocidad ( v ) en kilómetros por segundo (km/s), primero necesitamos convertir el radio de la órbita a kilómetros para que las unidades sean consistentes.
1 kiloparsec (kpc) es igual a $$3.086 × (10^{16}) kilómetros.$$
Entonces, si el Sol se encuentra a 8.5 kpc del centro de la galaxia, el radio ( r ) en kilómetros es:
$$ r = 8.5 \, \text{kpc} \times 3.086 \times 10^{16} \, \text{km/kpc} $$
$$ r = 8.5 \times 3.086 \times 10^{16} \, \text{km} $$
$$ r = 26.231 \times 10^{16} \, \text{km} $$
Ahora, podemos calcular el período ( T ) usando la velocidad $$( v = 220 \, \text{km/s} ):$$
$$ T = \frac{2\pi (26.231 \times 10^{16} \, \text{km})}{220 \, \text{km/s}} $$
$$ T = \frac{2\pi \times 26.231 \times 10^{16}}{220} \, \text{s} $$
$$ T = \frac{2\pi \times 26.231}{220} \times 10^{16} \, \text{s} $$
Para obtener ( T ) en años, usamos el hecho de que un año tiene aproximadamente $$( 3.154 \times 10^7 ) segundos:$$
$$ T_{\text{años}} = \frac{T_{\text{s}}}{3.154 \times 10^7 \, \text{s/año}} $$
Ahora, calcularemos ( T ) en segundos y luego lo convertiremos a años.
Para convertir $$(7.49 \times 10^{15})$$ segundos a años, utilizaremos la relación de que un año tiene aproximadamente $$(3.154 \times 10^7) segundos.$$
La fórmula para convertir segundos a años es:
$$
\text{Años} = \frac{\text{Segundos}}{\text{Segundos por año}}
$$
Sustituimos $$(7.49 \times 10^{15})$$ segundos y $$(3.154 \times 10^7)$$ segundos por año en la fórmula:
$$
\text{Años} = \frac{7.49 \times 10^{15}}{3.154 \times 10^7}
$$
Simplificamos la expresión para obtener el número de años:
$$
\text{Años} = \frac{7.49}{3.154} \times 10^{15} \div 10^7
$$
$$
\text{Años} = \frac{7.49}{3.154} \times 10^8
$$
Realizamos el cálculo:
$$
\text{Años} = 2.375 \times 10^8
$$
Por lo tanto, $$(7.49 \times 10^{15})$$ segundos son equivalentes a aproximadamente $$(2.38 \times 10^8) años.$$
Después de realizar los cálculos, obtenemos que el tiempo ( T ) que le toma al Sol completar una vuelta alrededor del centro de la galaxia es aproximadamente $$( 7.49 \times 10^{15} )segundos.$$ Al convertir este tiempo a años, obtenemos aproximadamente $$( 2.38 \times 10^8 ) años.$$
Por lo tanto, el Sol tarda aproximadamente $$( 7.49 \times 10^{15} )segundos$$ o $$( 2.38 \times 10^8 )años $$ en completar una órbita alrededor del centro de la galaxia.
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