La "catástrofe ultravioleta" es un término que se refiere a un problema que surgió a finales del siglo XIX en la física clásica al intentar describir la radiación del cuerpo negro usando la teoría clásica de la radiación electromagnética. Este problema llevó al desarrollo de la mecánica cuántica.
Un cuerpo negro es un objeto idealizado que absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él y, en equilibrio térmico, emite radiación en un espectro continuo. Para describir la distribución de energía de esta radiación en función de la frecuencia, los físicos utilizaron la teoría clásica, específicamente la ley de Rayleigh-Jeans.
La ley de Rayleigh-Jeans predice la densidad de energía $ \rho(\nu, T) $ emitida por un cuerpo negro a una frecuencia $ \nu $ y a una temperatura $ T $:
$$
[
\rho(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} k_B T
]
$$
Donde:
La ley de Rayleigh-Jeans funciona bien para bajas frecuencias, pero a altas frecuencias (en la región ultravioleta del espectro), predice que la densidad de energía se vuelve infinita. Esto lleva a una contradicción conocida como la "catástrofe ultravioleta".
Para entender por qué aparecen infinitos, consideremos la energía total $ E $ emitida por el cuerpo negro, que se obtiene integrando la densidad de energía sobre todas las frecuencias:
$$
[
E = \int_0^\infty \rho(\nu, T) \, d\nu = \int_0^\infty \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} k_B T \, d\nu
]
$$
Esta integral diverge porque $ \rho(\nu, T) $ aumenta cuadráticamente con la frecuencia $ \nu $. Al integrar $ \nu^2 $ desde 0 hasta $ \infty $, la integral no converge y tiende a infinito:
$$
[
E = \frac{8 \pi k_B T}{c^3} \int_0^\infty \nu^2 \, d\nu
]
$$
La integral $ \int_0^\infty \nu^2 \, d\nu $ diverge, lo que indica que la energía total predicha es infinita, lo cual es físicamente imposible. Esta es la catástrofe ultravioleta: la teoría clásica no puede explicar por qué el cuerpo negro no emite radiación infinita a altas frecuencias.
Para resolver este problema, Max Planck propuso en 1900 una nueva fórmula para la distribución de energía, introduciendo la idea de que la energía de la radiación electromagnética está cuantizada y solo puede tomar valores discretos:
$$
[
E = h \nu
]
$$
Donde:
La fórmula de Planck para la densidad de energía es:
$$
[
\rho(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} \frac{h \nu}{e^{h \nu / k_B T} - 1}
]
$$
Esta fórmula no diverge a altas frecuencias porque el término exponencial $ e^{h \nu / k_B T} $ en el denominador crece mucho más rápido que $ \nu^2 $ en el numerador, lo que garantiza que la integral de $ \rho(\nu, T) $ sobre todas las frecuencias converja a un valor finito.
La catástrofe ultravioleta puso de manifiesto las limitaciones de la física clásica y llevó al desarrollo de la teoría cuántica. La solución de Planck, al introducir la cuantización de la energía, resolvió el problema de los infinitos en los cálculos clásicos y fue un paso crucial hacia la formulación de la mecánica cuántica.
El problema fundamental que llevó a la "catástrofe ultravioleta" es que, aunque la energía que llega a un cuerpo negro es finita, los modelos matemáticos clásicos predicen una energía infinita de salida, especialmente a altas frecuencias. Vamos a detallar este punto para clarificar el problema y su solución.
En la física clásica, el modelo para la radiación del cuerpo negro se basaba en la teoría de la equipartición de la energía, que establece que la energía se distribuye igualmente entre todas las posibles formas de vibración (modos) de la radiación electromagnética en el cuerpo negro. La ley de Rayleigh-Jeans, derivada de estas suposiciones, predice la densidad espectral de energía de la radiación del cuerpo negro.
$$
[ \rho(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} k_B T ]
$$
La predicción clásica falla a altas frecuencias (en la región ultravioleta del espectro), ya que la densidad de energía $ \rho(\nu, T) $ aumenta sin límites según $ \nu^2 $. Esto lleva a una integral que diverge cuando intentamos calcular la energía total irradiada por el cuerpo negro.
$$
[ E = \int_0^\infty \rho(\nu, T) \, d\nu = \int_0^\infty \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} k_B T \, d\nu ]
$$
La integral $ \int_0^\infty \nu^2 \, d\nu $ diverge, prediciendo una energía infinita irradiada por el cuerpo negro, lo cual es físicamente absurdo ya que contradice la energía finita observada experimentalmente.
Max Planck resolvió este problema en 1900 al proponer que la energía de los osciladores atómicos en las paredes del cuerpo negro no es continua, sino que está cuantizada. Es decir, los osciladores solo pueden tener energías discretas que son múltiplos enteros de una cantidad fundamental $ h\nu $, donde $ h $ es la constante de Planck y $ \nu $ es la frecuencia.
Planck introdujo la siguiente fórmula para la densidad espectral de energía:
$$
[ \rho(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} \frac{h \nu}{e^{h \nu / k_B T} - 1} ]
$$
Esta fórmula tiene un comportamiento diferente a altas frecuencias debido al término exponencial en el denominador, $ e^{h \nu / k_B T} $, que crece mucho más rápido que $ \nu^2 $. Este término asegura que la densidad de energía $ \rho(\nu, T) $ disminuya exponencialmente a altas frecuencias, evitando la divergencia.
Integrando la fórmula de Planck sobre todas las frecuencias, obtenemos una energía total finita para la radiación del cuerpo negro:
$$
[ E = \int_0^\infty \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} \frac{h \nu}{e^{h \nu / k_B T} - 1} \, d\nu ]
$$
Esta integral converge y da un resultado finito, consistente con las observaciones experimentales.
El problema de la "catástrofe ultravioleta" en la física clásica surge porque los modelos matemáticos clásicos predicen una energía infinita de salida para la radiación del cuerpo negro, lo cual contradice la energía finita observada experimentalmente. Planck resolvió este problema introduciendo la idea de la cuantización de la energía, que lleva a una fórmula para la densidad espectral de energía que es consistente con una energía total finita y observaciones experimentales. Esto marcó el inicio de la física cuántica.
