El Gran Hotel de Hilbert

Los inteligentísimos, malévolos y voraces alienígenas matemáticos ya han aparecido en suficientes artículos de El Tamiz como para tener su propia serie, de modo que ya está creada su categoría (dentro de Matemáticas): Alienígenas matemáticos, en la que podéis encontrar las entradas en las que estas pérfidas criaturas han mostrado sus tentáculos (si se me ha pasado añadir alguna a la categoría y la veis, decídmelo y la añado). Hace ya tiempo que publicamos el último artículo de la serie, de modo que aquí tenéis otro relacionado, como los últimos de los alienígenas, con el concepto de infinito.

Como hice en anteriores entregas de la serie, un aviso: se trata de artículos para hacer pensar, pero no son del gusto de todos los lectores — muchos no llegan a conclusiones claras, están teñidos de humor negro y son de un estilo algo diferente a la mayoría de las otras entradas.

Dicho esto, hoy nos referiremos a otra de las paradojas clásicas relacionadas con el infinito y las supertareas (que hemos mencionado en entradas anteriores): la del Gran Hotel de Hilbert, propuesta por primera vez por el genial matemático alemán David Hilbert. Si has sudado la gota gorda tratando de entender los espacios de Hilbert alguna vez, y has maldecido su nombre en el proceso, tal vez este artículo te reconcilie con él: el buen señor, aparte de un gusto peculiar en sombreros, tenía una gran creatividad.

Pero, naturalmente, no vamos a seguir aquí la formulación tradicional de la paradoja del Gran Hotel, sino que la atacaremos narrando una de las historias de los malvados alienígenas matemáticos, la épica historia del Capitán Drebhliditav (hoy Almirante), uno de los héroes menos conocidos de la conquista del planeta Tierra. A lo largo de la historia se te plantearán tres problemas, de más sencillo a más complicado – ¿eres capaz de resolverlos?

La épica historia del Capitán Drebhliditav (hoy Almirante)

El Capitán Drebhliditav tuvo la fortuna –y, al mismo tiempo, la desgracia– de recibir el mando del Rotnacgroeg, la nave enseña de la flota asignada a la conquista de la Tierra. Como digo, esto era a la vez un honor y un grave problema: la cultura de los alienígenas matemáticos es profundamente darwinista, y sólo los más aptos sobreviven. De tener éxito en su empresa, el Capitán podía aspirar a grandes responsabilidades y honores, pero de fracasar acabaría en el gaznate de su superior inmediato, el Almirante Birlafutiro – no sería el primero ni el segundo en sufrir ese destino, como demostraba la gelatinosa y rebosante barriga de Birlafutiro.

Y la conquista de la Tierra era un proyecto importante: tras algunas abducciones esporádicas, los alienígenas matemáticos –auténticos gourmets galácticos– habían determinado que los humanos tenían un sabor absolutamente delicioso, además de disponer de mentes suficientemente avanzadas como para proporcionarles diversión en sus crueles experimentos probabilísticos, pero al mismo tiempo lo bastante torpes como para no suponer un problema. De modo que un único crucero, el Rotnacgroeg, sería despachado hacia la estrella Sol y el planeta Tierra para esclavizar (y marinar) a los monos cascarrabias que lo habitaban, acompañado de algunos cazas espaciales y destructores.

El Rotnacgroeg era una nave espacial extraordinaria: aparte de ser capaz de desafiar las ingenuas teorías de la relatividad y de la cuántica y moverse a voluntad por varios Universos, su diseño interno desafiaría tu débil mente humana. ¡Cómo ríen los filósofos alienígenas al conocer las teorías humanas sobre el volumen, el espacio y el tiempo, y nuestras patéticas cuatro dimensiones! A pesar de no ser mucho más grande que una ciudad, el Rotnacgroeg disponía de infinitos camarotes para la tripulación, numerados del 1 en adelante. Infinitos camarotes en un volumen finito, gracias a las paredes n-branas, los pasillos fractales y otras zarandajas.

Porque el Almirante Birlafutiro, responsable último de la flota, era un individuo meticuloso y obsesivo: siempre enviaba muchas más tropas de las estrictamente necesarias a cualquier misión. De hecho, la primera orden que dio a nuestro héroe Drebhliditav fue precisamente llenar los camarotes del Rotnacgroeg con tropas, un soldado por camarote. ¡Infinitos soldados! La conquista sería coser y cantar.

Una vez cargadas las tropas, confiado y tranquilo, nuestro Capitán Drebhliditav se relajó en el puente del Rotnacgroeg, resolviendo un sudoku pentadimensional de números transinfinitos mientras saciaba su apetito con una pequeña criatura de grandes ojos brillantes, peluda y adorable – de huesos algo crujientes, pero de sabor intenso. Sin embargo, de pronto la pantalla de comunicación con el Cuartel General se encendió, y en ella apareció la enorme y babosa cara del Almirante Birlafutiro.

“Capitán”, anunció Birlafutiro con su gorgoteante voz. “Prepárese para recibir tropas adicionales. Quiero estar seguro de que la conquista tiene éxito.”

“¡Pero, su Vileza!”, respondió Drebhliditav alterado, esparciendo saliva y criatura peluda por todo el puente. “¡Ya hay infinitos soldados en el Rotnacgroeg! ¡No hay un solo camarote vacío!”

“Oh, vamos, Capitán”, susurró el malévolo Almirante. “Tan sólo se trata de diez soldados más… no va a decirme que es incapaz de encontrarles un camarote, ¿verdad?”

“No, no… por supuesto que no, su Babosidad”. Casi todos los ojos de Drebhliditav miraron al suelo mientras su tez se tornaba de color anaranjado (un signo de sumisión entre los alienígenas matemáticos).

“Perfecto.” La enorme boca de Birlafutiro se abrió en una sonrisa de tres hileras de dientes. “El transporte llegará en unos diez minutos. Corto la comunicación.”

La pantalla se apagó, y el Capitán Drebhliditav tragó saliva. Necesitaba disponer de diez camarotes vacíos en unos pocos minutos. Miró al micrófono que le permitía transmitir órdenes a todos los camarotes de manera instantánea: sabía que los soldados en ellos obedecerían sus órdenes sin dudar (a riesgo de acabar en el buche del propio Drebhliditav, por supuesto). ¿Cómo resolver el problema?

Nota del autor: Aquí es donde, estimado y suculento lector de El Tamiz, tienes que poner tu materia gris en funcionamiento. ¿Qué hubieras hecho tú en el lugar de Drebhliditav? ¿Eres capaz de resolver el entuerto? Este primer problema es el más fácil de este artículo y deberías ser capaz de hallar alguna solución. Por cierto, varios de los problemas de hoy tienen más de una solución posible, así que si se te ocurre alguna diferente de las que aparecen puedes comentarnos tu solución personal. Cuando hayas pensado un rato, puedes seguir leyendo más abajo.

En tan sólo unos segundos, Drebhliditav sonrió levemente: tenía la solución. Con uno de sus tentáculos agarró el micrófono y se aclaró la garganta con un horrible gorgoteo:

“¡Atención, sabandijas!”, ladró cariñosamente. “Que cada soldado salga de su camarote y se dirija inmediatamente al camarote cuyo número sea diez más que el actual, ¡ya!”.

Los soldados, sin dudarlo, obedecieron la orden: el que se encontraba en el camarote 57 se trasladó al 67, el del 186 453 224 al 186 453 234, etc. En unos segundos, los primeros diez camarotes estaban vacíos. El Capitán Drebhliditav soltó una leve risita maliciosa – si Birlafutiro pretendía crearle problemas con esa estúpida orden, no iba a conseguirlo.

En unos minutos, el transporte llegó al crucero y los diez nuevos soldados fueron asignados a los camarotes 1-10. Drebhliditav cogió de nuevo su sudoku y se relajó – pero no demasiado, porque conocía bien al Almirante. No le sorprendió mucho cuando, una hora más tarde, la pantalla de comunicación se encendió de nuevo y la odiosa cara de Birlafutiro le sonrió desde ella.

“Bien, bien, Capitán”, dijo el Almirante sonriendo, pero sus ojos saltones no sonreían. “Ha cumplido usted las órdenes estupendamente. Pero he pensado que esos diez nuevos soldados pueden no ser un refuerzo suficiente: prepárese para recibir tropas adicionales.”

“Sí, su Tentaculez”, respondió solícitamente Drebhliditav. “¿De cuantos soldados se trata en este caso?”

Los ojos de Birlafutiro brillaron maliciosamente mientras ordenaba, “Un crucero idéntico al Rotnacgroeg se dirige hacia usted y llegará en unos minutos. Al igual que su nave, tiene infinitos camarotes… y todos están llenos. Transfiera las infinitas tropas de esa nave a los camarotes del Rotnacgroeg cuando lleguen.”

“¡Infinitas tropas adicionales!”, exclamó el Capitán antes de poder contenerse. “Pero, ¿cómo voy a liberar infinitos camarotes?”

Varios de los ojos de Birlafutiro se cerraron y abrieron. “Si es usted incapaz de acomodar a mis tropas y gestionar su nave, Capitán”, murmuró con voz al mismo tiempo rasposa y acariciadora, “no tiene más que decirlo.” La lengua del Almirante relamió sus labios purpúreos con delectación, indicando el terrible destino de Drebhliditav si no encontraba una solución al problema.

“Naturalmente que no, Almirante Birlafutiro”, dijo finalmente el Capitán con voz temblorosa. “Estaré listo para cuando lleguen las nuevas tropas.”

“Excelente, excelente… No me decepcione – no he desayunado hoy. Corto la comunicación.” La pantalla se apagó, dejando al pobre Drebhliditav solo con su dilema. Algunas gruesas gotas de sudor empezaron a perlar su rugosa frente, mientras su mente poderosa trabajaba febrilmente buscando una solución: ¿cómo acomodar a infinitos soldados cuando todos los camarotes estaban llenos, y todo en sólo unos minutos?

Nota del autor: Ya sabes – piensa en cómo solucionarías el problema para evitar ser digerido por Birlafutiro y, cuando estés listo, sigue leyendo más abajo. Si no consigues resolver el problema, no te preocupes: éste es más difícil que el anterior y, además, seguro que eres un tentempié delicioso.

Al cabo de unos instantes, Drebhliditav abrió y cerró sus tentáculos triunfalmente: ¡tenía la respuesta! Con una estentórea carcajada que duchó el puente de mando con babas ácidas y humeantes, cogió el micrófono e impartió su orden jubilosamente:

“¡Escuchadme, renacuajos espaciales!”, gritó. “Quiero que cada soldado se dirija al camarote cuyo número es el doble que el que tiene actualmente, ¡ahora mismo!”

Los soldados se apresuraron a multiplicar el número de su camarote por dos y se trasladaron al correspondiente: el del camarote 1 se dirigió al 2, el del 2 al 4, el del 400 000 al 800 000, etc. Gracias a los pasillos fractales, en menos de un minuto las tropas estaban dispuestas en sus nuevos camarotes: todos los camarotes pares, por supuesto. Los camarotes impares estaban libres – infinitos camarotes, listos para adecuar a las infinitas tropas que llegaron pocos minutos después.

Los nuevos soldados se aposentaron en sus camarotes, y Drebhliditav se sentó de nuevo en el puente: pero esta vez ni siquiera retomó la resolución de su sudoku, puesto que estaba seguro de que Birlafutiro no tardaría en llamar de nuevo. En menos de cinco minutos, efectivamente, la pantalla inundó el puente con su luz verdosa y la cara del Almirante apareció en ella. Drebhliditav tragó saliva: la piel de Birlafutiro era de un azul intenso, un signo de impaciencia y frustración. Sus tribulaciones, al parecer, aún no habían terminado.

“Una vez más, ha cumplido usted mis órdenes con eficacia, Capitán”, reconoció el Almirante con reticencia. “Sin embargo, esto no ha terminado todavía – necesitamos más tropas si queremos estar seguros de que esos estúpidos monos calvos no van a causarnos problemas.”

El sagaz Drebhliditav ni siquiera replicó ni formuló queja alguna esta vez, aunque internamente maldijo los tentáculos de su siniestro oficial superior. “Naturalmente, su Malevolencia”, respondió. “¿Se trata de otro crucero con infinitas tropas? ¿De dos cruceros con infinitas tropas cada uno?”, preguntó anticipándose a la retorcida mente de Birlafutiro.

El brillo de los múltiples ojos de batracio del Almirante era triunfal y depredador. “No, Capitán”, susurró, sin poder evitar que el cruel placer que encontraba en esta conversación impregnara su voz. “Se trata de un porta-cruceros, un nuevo tipo de nave que acaba de añadirse a la flota. Este porta-cruceros tiene infinitos hangares ordenados del 1 en adelante, del mismo modo que el Rotnacgroeg tiene infinitos camarotes.”

Drebhliditav comprendió lo que se avecinaba y su color cambió del naranja sumiso al púrpura fatalista.

“En cada hangar hay un crucero idéntico al Rotnacgroeg”, continuó el Almirante, satisfecho por el cambio de coloración de su subordinado. “Dentro de cada crucero hay infinitas tropas. El porta-cruceros con sus infinitos cruceros con sus infinitas tropas cada uno llegará en diez minutos. Acomode a los nuevos soldados en sus camarotes, o…”. Birlafutiro no acabó la frase, sino que uno de sus tentáculos mostró un bote de pimienta mientras sonreía vorazmente. La pantalla se apagó.

El Capitán suspiró y cerró los ojos. “¡Esto no puede acabar así! ¿Qué diría mamá?”, pensó mientras se acariciaba la tripa con un tentáculo, recordando a su progenitora con cariño (había sido un manjar realmente exquisito). “¡Tengo que encontrar una solución, pero ¿cómo lograrlo? ¡Infinitos cruceros con infinitos soldados cada uno, y todos mis camarotes están llenos!”

Nota del autor: Por supuesto, Drebhliditav encontró una solución al problema o no habría llegado a Almirante en vez del Almirante. Pero ¿puedes encontrar tú una solución de las varias posibles? No es fácil en absoluto, de modo que piensa un rato y luego sigue leyendo más abajo.

Tal vez fuera el recuerdo de su difunta madre, tal vez la desesperación: pero el hecho es que en tan sólo dos minutos el tono cutáneo de Drebhliditav pasó del púrpura fatalista al verde inspirado, y finalmente olas de colores cambiantes recorrieron su tez como si fuera una sepia excitada. ¡Tenía la solución! ¡No acabaría en el gaznate de Birlafutiro!

Inmediatamente cogió el micrófono y su voz inundó los infinitos camarotes de los infinitos soldados que los ocupaban:

“¡Prestad atención, excrecencias orgánicas!”, gritó a sus subordinados. “Que cada uno de vosotros haga lo mismo que en la última orden: multiplicad el número de vuestro camarote por dos y trasladaos al camarote resultante, ¡ahora mismo!”

Las tropas alienígenas cumplieron la orden rápidamente, de modo que, una vez más, los camarotes impares estaban libres – pero esto era sólo la primera parte del plan de Drebhliditav. La segunda parte se puso en marcha al llegar el porta-cruceros con sus infinitos cruceros. El Comandante del porta-cruceros se puso en comunicación con Drebhliditav para preguntarle cómo debían acomodarse las nuevas tropas.

“Preste atención, Comandante”, explicó Drebhliditav cuidadosamente. “Las tropas del crucero número 1 deben dirigirse dentro del Rotnacgroeg al camarote 3ⁿ, donde n es el número de su camarote actual. Es decir, sus camarotes son el 3, 9, 27, 81…”

“Muy bien”, respondió el Comandante algo confundido. “Pero, ¿qué hay del resto de cruceros?”

La cara de Drebhliditav se iluminó. “Las tropas del crucero número 2 deben hacer lo mismo, pero sus camarotes son los de números 5ⁿ. Las del siguiente crucero tienen asignados los camarotes 7ⁿ, las del siguiente los camarotes 11ⁿ, las del siguiente los 13ⁿ…”

El Comandante –que era, al fin y al cabo, un alienígena matemático igual que Drebhliditav– comprendió rápidamente. “Ya veo”, dijo con admiración. “Las tropas del crucero número x tienen asignados los camarotes yⁿ, donde y es el número primo de orden x+1. De modo que, por ejemplo, las tropas del crucero 32 tienen asignados los camarotes 137ⁿ, puesto que 137 es el trigésimo tercer número primo.”

“Exactamente, Comandante”, respondió Drebhliditav. “Cuando usted quiera. Todos los camarotes asignados están ya libres, y sus tropas pueden embarcar en cualquier momento”.

En unos minutos, las nuevas tropas estaban en sus camarotes y el Rotnacgroeg estaba listo para partir hacia la Tierra. La brillante mente del Capitán Drebhliditav había superado todos los obstáculos que el malvado Birlafutiro le había puesto, y había triunfado.

Unos meses después, la Tierra había sido conquistada y sus sabrosos habitantes esclavizados. Como recompensa a su extraordinaria capacidad, Drebhliditav ascendió a Almirante… y los jugosos tentáculos de Birlafutiro acabaron en su plato, sazonados con salsa barbacoa. Pero eso, querido lector, es otra historia, y tendrá que esperar a otro momento…

En el próximo artículo de la serie iniciaremos el concepto de fractal.

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Créditos: Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com/