Calcular la velocidad de escape de una Súper Tierra

En clase, mientras especulábamos sobre posibles soluciones a la paradoja de Fermi, surgió una idea interesante que dio base a una pregunta recurrente: ¿qué tan difícil sería para una civilización tecnológica abandonar un planeta mucho más masivo que la Tierra?

Supongamos una civilización que habita una Súper Tierra con estas propiedades:

• Masa del planeta: 10 veces la masa terrestre.
• Radio del planeta: 1.9 veces el radio terrestre.

La pregunta es directa: ¿cuál sería la velocidad de escape de ese planeta y cómo se compara con la de la Tierra?

1) Idea física: energía mecánica y escape gravitatorio

Un objeto que intenta escapar de un planeta está sometido (en un modelo ideal) a dos formas de energía:

• Energía cinética, asociada a su velocidad, que tiende a llevarlo lejos.
• Energía potencial gravitatoria, asociada al campo gravitatorio del planeta, que tiende a retenerlo.

La condición clásica para escapar (llegar al infinito con velocidad final nula) es que la energía mecánica total sea cero:

$$ E_m = E_c + E_p = 0 $$

En el modelo newtoniano, estas energías pueden escribirse como:

$$ E_c = \frac{1}{2}mv^2 \qquad\text{y}\qquad E_p = -\frac{GM_pm}{R_p} $$

donde:

• m es la masa del objeto (cancela al final).
• G es la constante de gravitación universal.
• M_p es la masa del planeta.
• R_p es el radio del planeta (distancia desde el centro hasta la superficie).

2) Deducción: fórmula de la velocidad de escape

Imponiendo la condición de escape E_m = 0:

$$ \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GM_pm}{R_p} = 0 $$

Reordenando:

$$ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GM_pm}{R_p} $$

La masa m se cancela y obtenemos la velocidad de escape:

$$ v_e^2 = \frac{2GM_p}{R_p} \qquad\Rightarrow\qquad v_e = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} $$

Esto es importante: v_e depende solo de la masa y el radio del planeta. En cambio, la fuerza (o el empuje) requerida para acelerar un objeto concreto hasta esa velocidad sí depende de la masa del objeto y de la tecnología disponible.

3) Comparación directa con la Tierra

Para comparar una Súper Tierra con la Tierra, escribimos:

$$ v_{e,\text{planeta}} = \sqrt{\frac{2GM_{\text{planeta}}}{R_{\text{planeta}}}} \qquad\text{y}\qquad v_{e,\oplus} = \sqrt{\frac{2GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}} $$

Si el planeta tiene masa M_{\text{ST}} = 10M_{\oplus} y radio R_{\text{ST}} = 1.9R_{\oplus}, entonces:

$$ v_{e,\text{ST}} = \sqrt{\frac{2G(10M_{\oplus})}{1.9R_{\oplus}}} $$

Factorizamos la expresión de la Tierra:

$$ v_{e,\text{ST}} = \sqrt{\frac{10}{1.9}}\sqrt{\frac{2GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}} = \sqrt{\frac{10}{1.9}}\,v_{e,\oplus} $$

Es decir: la velocidad de escape escala como la raíz cuadrada del cociente M/R (respecto a la Tierra).

4) Cálculo numérico para la Tierra

Usamos valores típicos:

• Constante gravitacional: G = 6.674×10⁻¹¹ N·m²/kg²
• Masa de la Tierra: M_⊕ = 5.9722×10²⁴ kg
• Radio de la Tierra: R_⊕ = 6371×10³ m

Entonces:

$$ v_{e,\oplus}=\sqrt{\frac{2(6.674\times10^{-11})(5.9722\times10^{24})}{6371\times10^3}} $$

Numéricamente:

$$ v_{e,\oplus}\approx 11185.9\ \text{m/s}\approx 11.186\ \text{km/s} $$

5) Cálculo numérico para la Súper Tierra (10 M⊕, 1.9 R⊕)

Aplicamos la relación deducida:

$$ v_{e,\text{ST}}=\sqrt{\frac{10}{1.9}}\,v_{e,\oplus} $$

Sustituyendo:

$$ v_{e,\text{ST}}=\sqrt{\frac{10}{1.9}}\,(11185.9\ \text{m/s}) $$

Resultado:

$$ v_{e,\text{ST}}\approx 25662.2\ \text{m/s}\approx 25.662\ \text{km/s} $$

Conclusión

Para una Súper Tierra con 10 veces la masa de la Tierra y 1.9 veces su radio, la velocidad de escape resulta:

$$ v_{e,\text{ST}}\approx 25.66\ \text{km/s} $$

Esto es aproximadamente 2.3 veces la velocidad de escape terrestre (11.19 km/s). En términos energéticos, la diferencia es aún más dramática: como la energía cinética crece con v², alcanzar 25.66 km/s requiere más de (25.66/11.19)² ≈ 5.3 veces la energía por unidad de masa, sin contar atmósfera, rozamiento, pérdidas y limitaciones tecnológicas. En una Súper Tierra, despegar al espacio podría ser una tarea mucho más exigente que para nosotros.