Alienígenas matemáticos – Entrenamiento civil

Lo siento, pero ha vuelto a pasar: ésta es una nueva entrega de los Alienígenas matemáticos, la serie estúpido-matemática de El Tamiz en la que no hay más que pedantería, humor negro sin gracia y conclusiones inanes. Si eres afortunado, no sabes de lo que estoy hablando. Es mejor que sigas así y dediques tu tiempo a algo más útil: lee un libro, ve a dar un paseo o mira a la pared mientras meditas sobre su textura pero no sigas leyendo esto. Dicho de la manera más simple y llana posible, la lectura de cualquiera de estos artículos es ortogonal a cualquier uso práctico del tiempo que requiere. Avisado estás.

Dicho todo esto, esta vez hay una diferencia con otras – la información que vas a recibir puede resultar vital en el futuro. Si algún día somos conquistados por una especie alienígena de crueldad extrema y curiosidad pareja a ella, es posible que el entrenamiento que vas a recibir suponga la diferencia entre la vida y la muerte no sólo para ti, sino para muchos otros seres humanos. No te rías, porque esto es una cosa muy seria: es casi seguro que, de ser tomada la Tierra por criaturas de esa naturaleza, seamos sometidos a experimentos en los que nuestro comportamiento puede determinar si vivimos o morimos.

No estoy diciendo, ni mucho menos, que esto vaya a pasar, ¡por supuesto que no! No estoy insinuando, sin poder decirlo abiertamente, que conozca la existencia de una flota que lleve siglos acercándose al Sistema Solar a velocidades supralumínicas y que vaya a llegar aquí en las próximas décadas. No hay manera alguna de que podamos saber que algo así esté pasando, ni que tengamos idea de los experimentos exactos que esas criaturas –hipotéticas criaturas– vayan a realizar –hipotéticamente– cuando lleguen aquí. Si es que llegan aquí. Si es que existen. Hipotéticamente.

No, no estoy diciendo eso. Pero, en cualquier caso, aunque sea sólo para divertirnos y no para estar preparados, juguemos a algunos juegos probabilísticos en los que la estrategia de los jugadores determina su probabilidad de supervivencia o muerte –a veces certeza, más que probabilidad–. Mi objetivo es realmente un juego concreto, pero antes de ése haremos un par de juegos más simples para ir haciendo boca. Todos ellos, por cierto, son variaciones de los que en su día escribieron genios de la talla de George Gamow y Martin Gardner, aunque enunciados de una manera absurda y aberrante, por supuesto.

Imagina, incauto lector, que una especie alienígena monstruosa de genios matemáticos y psicólogos mórbidos ha tomado la Tierra y utiliza a algunos de nosotros como especímenes para sus experimentos. Supongamos que has sido seleccionado junto con otro humano para realizar uno de estos experimentos, y que ambos –el otro humano y tú– despertáis juntos en una pequeña celda metálica de acero refulgente.

“¡Buenos días, xuglurz!”, resuena una voz risueña y húmeda a través de un altavoz. “Habéis sido seleccionados para un simple experimento probabilístico… es algo tan sencillo que tengo esperanzas de que podáis incluso entenderlo.”Una pequeña risita gorgoteante interrumpe la explicación, y crees percibir otras risitas más tenues tras ella.

“En unos minutos”, continúa la voz, “se os taparán los ojos a ambos. Después se os pondrá a cada uno de vosotros un sombrero, que puede ser blanco o negro. Finalmente se os descubrirán los ojos de modo que podáis ver el sombrero del otro, pero no el vuestro.”

_“A partir de ese momento tenéis un segundo para pensar y ambos debéis decir simultáneamente, sin dudar, un color: blanco o negro. Si el color coincide con el del sombrero de quien lo dice, ese xuglurz sobrevivirá. Si no coincide, será… descartado” _. Más risitas.

“Nuestra magnanimidad se hace evidente por el hecho de que, a partir de este momento, tenéis un minuto para hablar entre vosotros antes de que os tapemos los ojos. Razonad juntos para llegar a una estrategia de supervivencia y… buena suerte”.

De modo que ambos podéis hablar durante un minuto para acordar una estrategia. No hay manera de saber qué criterio han seguido los Alienígenas para poneros los sombreros: puede ser al azar, pueden ser ambos negros en cualquier caso, o uno de cada color siempre, o a saber qué. No lo sabemos. Lo único que sabes es que verás el sombrero del otro, pero no el tuyo. Y no, no hay manera de hacer trampa: ni gestitos ni nada parecido. Sólo es posible decir “blanco” o “negro”, y ambos debéis hablar a la vez.

Esta primera pregunta, que es más que nada un calentamiento, es la siguiente: ¿cuál es la estrategia óptima? Para esto, desde luego, debemos ponernos de acuerdo en qué significa “óptima”, porque aunque te duela escucharlo, no se refiere a la máxima probabilidad de que sobrevivas tú. No estás solo en esto: es posible que cantidades enormes de seres humanos sean sometidos a estos experimentos y debemos asegurar la supervivencia de la especie.

Estos son los criterios que seguiremos para definir la estrategia óptima:

• Si una estrategia garantiza la supervivencia de un porcentaje mayor de seres humanos que cualquier otra, ésa es la estrategia óptima siempre que el porcentaje sea al menos del 50%.
• Si dos estrategias garantizan el mismo número de supervivientes, la que suponga la supervivencia del máximo porcentaje esperado de seres humanos es la óptima.
• Si ninguna garantiza el 50%, la estrategia que suponga la supervivencia del máximo porcentaje esperado de seres humanos es la óptima independientemente del número garantizado.

Es importante entender esto – si una estrategia diera un 90% de probabilidades de supervivencia a cada humano pero con ella es posible, aunque improbable, que mueran todos, sería una estrategia inferior a otra que garantizase un 60% de supervivientes con un porcentaje esperado del 75%. ¡Debemos garantizar la supervivencia de la especie!

Dicho de otro modo y en el ejemplo concreto de arriba:

• Si una estrategia garantiza que al menos uno de vosotros sobreviva, ésa sería la mejor.
• Si no es así, la que proporcione –utilizando la probabilidad– un porcentaje de supervivientes mayor será la mejor. Por ejemplo una que suponga un 60% de supervivencia será mejor que una que suponga un 30% de supervivencia.

Si esto está claro, puedes imaginar ese minuto de conversación con tu compañero de celda. ¿Qué estrategia debéis acordar a priori? Antes de seguir leyendo piensa un rato y, si te hace falta, haz algún diagrama. Dejo un espacio para no tentar a tus ojos.

Por cierto: ni qué decir tiene que en cada experimento, cuando explique la estrategia óptima, será la óptima de la que soy consciente. Si alguien cree que tiene una estrategia que supera la que pongo aquí puede explicarla en comentarios y, si demuestra ser mejor, actualizo el artículo y listo. Vamos con ello.

Las posibilidades son cuatro: blanco-blanco, blanco-negro, negro-blanco y negro-negro. El problema para encontrar la estrategia óptima es que no es posible suponer siquiera que un 25% de las veces saldrá cada una, porque no sabemos si se han obtenido al azar.

Por ejemplo, la siguiente estrategia no es óptima: “Los dos elegiremos siempre negro.” Si la selección ha sido al azar, entonces uno de nosotros sobrevivirá un 75% de las veces, pero esta estrategia tiene dos problemas: por un lado, es posible que muramos antes, luego su garantía de supervivencia es de 0 seres humanos (un desastre). Por otro lado, su número esperado de supervivientes es del 75% de los participantes, pero eso parte de la base de que la elección de sombreros ha sido al azar. Y eso no podemos saberlo. De hecho, en este experimento no podemos siquiera estimar una probabilidad de supervivencia de ese tipo porque desconocemos la manera en que se han elegido los sombreros.

La estrategia óptima en este caso garantiza la supervivencia de uno de los dos. Desgraciadamente, también garantiza la muerte del otro. Por lo tanto, tiene una garantía de supervivencia del 50% y un porcentaje esperado de supervivencia también del 50%. Es, dicho de otro modo, una estrategia completamente determinista.

La estrategia es la siguiente: “Yo elegiré el color que veo en tu sombrero y tú elegirás el contrario del color que ves en mi sombrero”.

Las combinaciones posibles y los resultados en cada caso son los siguientes (utilizo “yo” y “tú” para los dos seres humanos):

• Yo[N] Tú[N] -> Yo elijo negro, tú eliges blanco. Yo sobrevivo y tú mueres.
• Yo[N] Tú[B] -> Yo elijo blanco, tú eliges blanco. Yo muero y tú sobrevives.
• Yo[B] Tú[N] -> Yo elijo negro, tú eliges negro. Yo muero y tú sobrevives.
• Yo[B] Tú[B] -> Yo elijo blanco, tú eliges negro. Yo sobrevivo y tú mueres.

Como ves, pase lo que pase uno de nosotros sobrevive y el otro muere: da igual con qué frecuencia se produzca cada suceso, es absolutamente imposible que muramos los dos… lo mismo que es absolutamente imposible que los dos sobrevivamos.

¿Por qué funciona así esta estrategia independientemente del color de los sombreros? Porque, si te fijas en las cuatro posibilidades de arriba, realmente lo que hacemos tú y yo es lo siguiente: yo apuesto que nuestros sombreros son del mismo color, y tú estás apostando que son de colores diferentes. Es inevitable que uno de nosotros falle, y que el otro acierte.

Pero pasemos a otros experimentos con más seres humanos, si es que ya le has tomado el gusto a esta manera de pensar: es un hábito muy saludable por lo que pudiera pasar en el futuro.

Imaginemos un caso diferente: en esta ocasión no sois dos seres humanos, sino que sois tres, y hay algunas reglas diferentes. La situación es muy parecida a la anterior: tras un minuto para poder acordar una estrategia, se os vendan los ojos. Cada uno recibe, una vez más, un sombrero blanco o negro, pero con una diferencia – esta vez cada sombrero ha sido determinado al azar. Puedes estar seguro de ello, ya que los Alienígenas matemáticos nunca mienten (sería humillante para ellos tener que recurrir a algo así con una especie semi-inteligente como la nuestra).

A continuación se destapan los ojos de los tres humanos, que pueden ver los sombreros de los otros pero no el suyo. Tras un segundo para pensar, los tres humanos deben decir una de tres opciones (no dos, ésta es la segunda diferencia con el anterior): blanco, negro o paso. Finalmente, la tercera diferencia es la conclusión del experimento, ya que cada humano no sobrevive si acierta y muere si falla.

“Hemos oído que los humanos sois criaturas gregarias”, murmulla la voz monstruosa. “De modo que hemos querido hacer honor a eso… si los tres humanos pasan, mueren todos. Si cualquiera de los tres se aventura a decir un color y falla, mueren todos. Si no pasan todos y ninguno falla al decir un color, todos sobreviven”.

Repito las diferencias con el anterior por si te has liado: ahora la elección de sombrero ha sido aleatoria, es posible pasar en vez de decir un color, y todos viven o mueren juntos (mueren si alguien falla el color o todos pasan, viven en caso contrario).

¿Cuál es nuestra estrategia óptima, acordada antes de que nos venden los ojos?

En este caso sí podemos contar con una distribución aleatoria de sombreros. Que yo sepa no hay estrategia que garantice nada, a diferencia de la anterior. Sin embargo, sí hay una estrategia cuyo porcentaje de supervivencia es razonablemente alto. Esto es lo que debemos hacer cualquiera de nosotros tres:

• Si los dos sombreros de mis compañeros son ambos del mismo color, yo digo el contrario.
• En cualquier otro caso, paso.

Las posibles combinaciones de sombreros son BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN. Esto significa que en seis de las ocho posibles combinaciones de sombreros dos son iguales y otro diferente. En todas ésas, el humano que tenga el sombrero “distinto” elegirá el color que no está viendo –y que será el suyo de manera correcta–, y los otros dos humanos verán un sombrero de cada color, de modo que pasarán.

Existen dos combinaciones en las que, desgraciadamente, todos morimos: BBB y NNN. En ellas los tres haremos exactamente lo mismo, que es decir el color contrario (negro en el primer caso, blanco en el segundo), que será incorrecto. Sin embargo, dado que sobrevivimos todos en 6/8 de las ocasiones y morimos en 2/8, creo que ésta es la estrategia óptima: no garantiza supervivencia, pero proporciona un porcentaje esperado del 75%.

Ahora que tus neuronas ya están cargadas, acerquémonos más al experimento fundamental de hoy. Supongamos que volvemos al primer caso, de los dos únicos humanos en la celda, y a dos posibles respuestas (blanco o negro), de manera que si aciertas tu sombrero sobrevives y si fallas mueres. Olvidemos, por tanto, la posibilidad de pasar y la muerte o supervivencia de todos a la vez. Olvidemos también que los sombreros son elegidos al azar: no sabemos cómo se eligen. Todo es casi igual que cuando empezó el artículo.

Pero cambiemos una cosa: las afirmaciones ya no son simultáneas. Ahora, cuando los monstruos nos destapen los ojos, estaremos puestos en fila, mirando en la misma dirección, uno delante del otro. Así, si suponemos que yo estoy detrás de ti, cuando nos destapan los ojos yo veo tu sombrero, pero tú no puedes ver el mío.

Quien está detrás y puede ver el sombrero del otro elige primero: puede decir blanco o negro. Si acierta sobrevive, si falla muere, y quien está delante escucha tanto la afirmación como su consecuencia. Supongamos, por ejemplo, que ambos tenemos sombreros negros. Yo estoy detrás, tú delante, yo empiezo a jugar. Si elijo blanco, entonces tú escucharás que digo “blanco” y, a continuación, una descarga y un alarido mortal. Así sabrías –aunque ya no importe– que mi sombrero era realmente negro, pues he muerto.

¿Cuál es nuestra estrategia óptima, acordada antes de que nos venden los ojos?

Una vez más –salvo que alguien me corrija– no existe estrategia que sea mejor que la que garantiza un 50% de supervivencia. De hecho, creo que encontrar la estrategia óptima en este caso es más fácil que en el primero, por la diferencia fundamental entre ambos: el hecho de que yo ahora puedo darte información si empiezo yo primero.

La estrategia óptima es la siguiente: “El primero que elige dirá el color del sombrero del otro, y éste a su vez repetirá el mismo color”.

De este modo estamos absolutamente seguros de que el segundo en elegir sobrevive, ya que el primero le ha dado la respuesta correcta. De hecho, en este caso estamos en una posición mejor que en el original: en aquel caso uno de nosotros sobrevivía seguro, pero el otro moría seguro. En este caso uno de nosotros sobrevive seguro –el segundo– y es posible que el primero también sobreviva.

Si la elección de sombreros es aleatoria –algo que no sabemos–, entonces el segundo sobrevive siempre y el primero sobrevivirá un 50% de las veces, luego el porcentaje garantizado será del 50% y el esperado del 75%. Pero, en cualquier caso, dado que esta estrategia garantiza un 50% de supervivencia dudo que haya ninguna mejor.

¿Qué cambiaría si en vez de dos seres humanos en este juego hubiera tres, de modo que el último de la fila ve los otros dos sombreros y elige primero, luego el siguiente y luego el primero de la fila, y todos escuchan las afirmaciones de los anteriores? ¿Cuál debería ser nuestra estrategia en este caso?

Antes siquiera de que empieces a pensar, una recomendación: primero mira qué pasaría si seguimos una estrategia lo más parecida posible a la anterior. Luego piensa en una mejor, porque la hay, aunque no sea tan evidente como la primera.

La repetición básica de la estrategia de antes sería como sigue: el último de la fila mira los otros dos sombreros y dice el color del que tiene delante. Éste repite ese mismo color, de modo que garantiza su supervivencia. Finalmente, el de delante del todo dice un color al azar. Esta estrategia, desgraciadamente, sólo garantiza un 33% de supervivencia –el participante intermedio–. Si la elección de sombreros fuera al azar, los otros dos tienen un 50% cada uno, de modo que el total de supervivientes esperados es del 66%, pero eso es algo que no podemos saber.

Cambiar quién repite color no mejora las cosas, por cierto: si el primer concursante dice un color al azar y el segundo dice el color del primero de la fila, para que éste lo repita y sobreviva, el porcentaje garantizado sigue siendo del 33%. ¿Existe alguna estrategia que garantice la supervivencia, no de uno de los participantes, sino de dos de los tres? Sí, pero es más compleja.

Los tres nos ponemos de acuerdo en lo siguiente: el primero en hablar, quien ve los otros dos sombreros, se fijará en cuántos sombreros blancos hay frente a él: 0, 1 o 2. Si el número de sombreros es par –consideramos 0 como par en nuestra estrategia–, dirá “blanco”, y si no, dirá “negro”. Los demás deben simplemente razonar y elegir lo que crean conveniente para sobrevivir.

¡Con esa simple afirmación, los otros dos participantes tienen asegurada su supervivencia!

Imagina que yo soy el primer participante y tú el segundo. Yo estoy detrás de ti, nos destapan los ojos y, tras un segundo, oyes que digo “blanco” –y, por cierto, te da exactamente igual si muero o no en lo que a tu elección afecta–. Eso significa que yo estaba viendo un número par de sombreros blancos, o 0 o 2.

Si tú ves que el primero de la fila tiene un sombrero blanco es que, necesariamente, el tuyo también es blanco. Por lo tanto, debes decir “blanco”. Tú sobrevives seguro. Finalmente, nuestro compañero de delante, el último en poder hablar, sabe que hay un número par de sombreros blancos –0 o 2–, que tú has dicho blanco y has sobrevivido, luego el tuyo era blanco, y por lo tanto el suyo debe necesariamente también ser blanco, con lo que eso es lo que dirá y sobrevivirá también.

¿Y si cuando abres los ojos ves que el sombrero del de delante es negro? Puesto que yo dije “blanco”, lo cual significa un número par de blancos –insisto, con 0 como par–, el tuyo también debe ser negro. No sigo el proceso porque creo que resulta claro que ambos sobrevivís.

Tampoco hace falta que diga qué pasa si yo digo negro: si es así sabrás que hay un sombrero blanco frente a mí, y por lo tanto cuando abras los ojos podrás deducir el color de tu propio sombrero y, en consecuencia, el tercer participante podrá hacer lo mismo y también sobrevivir.

Con esta estrategia –que es la óptima si nadie me corrige– garantizamos un 66% de supervivencia y, además, el porcentaje esperado será algo mayor puesto que el último de la fila –el único que transmite información con su afirmación– puede sobrevivir si tiene suerte y acierta con el color del sombrero.

¿Y si en vez de tres participantes somos cien participantes (y todos escuchan lo que dicen todos los anteriores, igual que antes)? ¿Qué deberíamos hacer entonces?

La respuesta en este caso es bien simple: exactamente lo mismo. Eso es lo que, en mi opinión, hace tan magnífica esta estrategia. Con la simple afirmación inicial de uno de nosotros –que es el héroe que salva a todos los demás– todos los demás pueden salvarse.

Imagina que, una vez más, yo soy el último de la fila y por tanto el primer en hablar y tu estás justo delante de mí y hablas después. Cuando abras los ojos verás un número de sombreros blancos frente a ti, que será par o impar. Si yo digo “blanco” antes de que abras los ojos es que yo veía un número par de sombreros blancos.

Pero la única información que yo tenía y tú no tienes es el color de tu propio sombrero, que tú no puedes ver. Si yo veía un número par y tú también ves un número par es porque tu sombrero debe necesariamente ser negro. Y lo contrario pasa si digo “negro”.

Y, una vez que has hablado tú, el siguiente puede saber de qué color es su sombrero, y así hasta el último. ¡Tenemos un 99% de supervivencia garantizada! El único que tal vez muera –y no es seguro– soy yo, el último de la fila que habló el primero.

Esta estrategia funciona tan bien por lo siguiente (a ver si lo explico con claridad):

Cada participante tiene menos información visual que el anterior, ya que ve un sombrero menos que el anterior en hablar. Así, el que más información tiene es el primero en hablar, que ve a todos menos a sí mismo: tiene la información completa de los otros 99. Pero, al utilizar su turno de palabra para decir cuántos sombreros blancos hay –par o impar–, está proporcionando al siguiente la información que éste pierde por no poder ver su sombrero. De modo que todos los demás siguen teniendo, gracias a él, la información completa, por lo que se salvan todos.

Aunque no voy a entrar en más detalle, esta estrategia sirve lo mismo para 100 que para 10 000 participantes, ya que sólo sacrifica –tal vez– al primero, y salva a todos los demás. Desde luego, requiere que todos llevemos la cuenta de lo que ha pasado antes, pero por mucho que nos desprecien los Alienígenas matemáticos estoy convencido de que, si nuestra vida depende de ello, podemos hacerlo.

Para rizar el rizo, consideremos una última posibilidad que me parece también fascinante –y aún más difícil que la anterior–. Supongamos que no hay sólo sombreros blancos y negros, sino que hay siete colores de sombrero: uno por cada color tradicional del arco iris (rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil y violeta).

Todo el resto es igual: somos cien participantes, el último de la fila empezará a decir un color de los siete y así uno tras otro todo el resto de participantes. Si alguien acierta el color de su sombrero sobrevive, y si falla muere. Observa que en este caso es muchísimo menos probable que alguien sobreviva diciendo un color al azar: si digo verde por decir algo, salvo que tenga una suerte loca mi sombrero seguramente no será verde, con lo que moriré casi seguro.

¿Cuál sería nuestra estrategia óptima acordada de antemano en este caso?

Como decíamos en el planteamiento, es mucho más difícil acertar al azar que antes. Pero si comprendiste la transferencia de información del caso anterior también entenderás otra cosa: el primero en hablar nos puede dar más información ahora que antes, puesto que debe elegir entre un mayor número de posibles afirmaciones.

La manera de obtener una estrategia óptima depende de eso: ¿cuántas posibles afirmaciones, y con ellas posibles informaciones diferentes, puede darnos el héroe que hablar primero? La respuesta es que siete, los siete posibles colores. ¿Qué código inventaremos entonces para que esos colores nos digan lo más posible sobre lo que ve?

El mejor, creo, es algo así: ordenamos los colores como en el arco iris, de rojo a violeta y del 0 al 6 (rojo es 0, violeta es 6). El primer humano en participar mira todos los sombreros frente a él y suma los códigos de todos los colores que ve. No voy a poner un ejemplo con cien participantes, pero como esto funciona igual independientemente del número de ellos, hagámoslo con cinco para poder llevar la cuenta.

Supongamos que yo soy el último de la fila y, por tanto, el primero en hablar de los cinco, y veo los siguientes sombreros: naranja, amarillo, amarillo y azul. Entonces traduciré los colores a números: 1224, y los sumaré, con lo que obtendré 9.

¡Si pudiera dar ese número a mis compañeros todo estaría resuelto! Con él, el siguiente en hablar puede restar los colores-números que ve al dato que yo le doy y, así, deducir su propio sombrero. Pero desgraciadamente en nuestro código sólo tenemos números –a través de colores– del 1 al 7… ¿cómo decir “9”?

La clave está en el hecho de que no hace falta dar el número exacto, ya que el siguiente puede ver todos los sombreros menos uno. Basta con decir, como hicimos cuando había sombrero blanco y negro, algo equivalente a “par o impar”: pero ¿cuál es el equivalente a “par o impar” con siete posibilidades?

Si sabes matemáticas es posible que ya tengas la respuesta: módulo, es decir, el resto de la división. Dado que hay siete posibles colores y con ellos siete números del 0 al 6, basta con tomar la suma que hemos obtenido, dividirla entre 7 y dar el resto como color. Más técnicamente, lo que transmito a los demás jugadores es la suma módulo 7.

En el ejemplo anterior, como he obtenido 9, divido 9 entre 7 y el resto me queda 2. Como 2 es el amarillo, yo diré: “amarillo”. Eso significa, por cierto, que yo muero en este caso, pero soy así de heroico y no me importa sacrificarme por la especie. ¿Qué verás y deducirás tú entonces, si eres el siguiente en hablar?

Tú ves los siguientes sombreros: amarillo, amarillo y azul, es decir, 224. Pero 2+2+4 es 8, y al dividir 8 entre 7 el resto es 1 y no 2, que es el resto que veía yo. Por lo tanto tu sombrero debe ser 2-1 = 1, que es naranja. Tú dirás “naranja” y te salvarás.

De paso darás información al siguiente. Él sabe que el primer jugador dijo amarillo (2), y el siguiente párrafo es la clave para entender todo el problema:

De todos los sombreros que podía ver el primer jugador, el tercer jugador puede ver todos los que hay frente a él, y ha escuchado el valor de todos los anteriores a él. En otras palabras, conoce directa o indirectamente el color de todos los sombreros excepto el suyo. La única diferencia de información entre el primer jugador y el tercero es el sombrero del tercer jugador, con lo que éste puede deducir el color comparando ambas informaciones.

Me detengo en esto porque, insisto, es la clave. Cualquier jugador de la fila, da igual si es el cuarto o el vigésimo si hubiera cien, tiene prácticamente la misma información que el primer jugador, que podía ver todos los demás sombreros:

• Cualquier sombrero a mi espalda no puedo verlo, pero he escuchado con palabras su código, luego conozco su color
• Cualquier sombrero frente a mí puedo verlo, luego conozco su color

El único del que no tengo ninguna información, irónicamente porque es el que necesito saber para salvar la vida, es el mío. Pero dado que sé el código anunciado por el primer jugador y el que yo anunciaría con todos los sombreros que conozco, la diferencia entre ambos debe ser necesariamente el color de mi sombrero.

Veámoslo con nuestro ejemplo concreto, pasito a paso. El primer jugador dijo amarillo (2), y el segundo dijo naranja (1). Ahora le toca jugar al tercer jugador, que frente a sí ve los sombreros 24.

Pero el tercer jugador no calcula su código con esos dos sombreros, sino con todos menos el suyo propio. Debe añadir a los sombreros 24 el sombrero que anunció su predecesor, es decir, el naranja (1), con lo que en su cálculo incluye tres sombreros: 124 –de los que 24 son visibles y 1 fue anunciado–.

Así, el código del tercer jugador es 1+2+4=7, cuyo resto es 0. Y la única diferencia con el código 2 del primer jugador es precisamente el sombrero del tercer jugador: por lo tanto, inevitablemente ese sombrero es amarillo (2). De manera que el tercer jugador anuncia “amarillo” (2) y se salva.

Sigamos con el cuarto jugador, que sólo ve un sombrero, 4. Sin embargo, a su código debe añadir los sombreros que no puede ver pero ha escuchado, es decir, los del segundo jugador (1) y el tercer jugador (2). Así, los sombreros que conoce el cuarto jugador son 124.

Por lo tanto, su código vuelve a ser 1+2+4=7, cuyo resto es 0. Puesto que el primer jugador anunció 2 y la única diferencia entre ambos es ahora el sombrero del cuarto jugador, ese sombrero debe necesariamente ser amarillo (2). De manera que el cuarto jugador anuncia “amarillo” (2) y se salva.

¿Funciona este sistema para el último jugador? ¡Por supuesto! Ese jugador no ve absolutamente ningún sombrero, pero eso da igual. Ha escuchado ya tres sombreros, los de los jugadores segundo, tercero y cuarto, que fueron respectivamente 1, 2 y 2. Por lo tanto, su código es 122: 1+2+2=5. Debe ahora compararlo con el del primer jugador, ya que la diferencia será su propio sombrero, lo único que incluía el código del primero y no incluye el suyo.

El código del primer jugador era 2, y el del quinto es 5. ¿Quiere eso decir que su sombrero es 5-2=3, es decir, verde? ¡No! Recuerda que el primer jugador veía un sombrero más que el quinto, no un sombrero menos. Por lo tanto debemos ir de 2 a 5 “hacia abajo”, no “hacia arriba”. Si te fijas en los casos anteriores, siempre restamos el primerresto menos el segundo, ya que el primero es un número mayor.

Si aquí hacemos 2-5=-3 esto puede parecer absurdo, pero recuerda que esto no son los códigos completos sino los restos tras dividir entre siete. Para convertir ese -3 a nuestro sistema de siete posibles números no hay más que volver a sumarle 7 (pues el número mayor tuvo un cociente más grande que el pequeño, de ahí la aparente contradicción de que el menor tenga un resto más grande) y que sea positivo: -3+7=4, que es azul. Por tanto, el último jugador sabe que la diferencia entre ambos códigos es de 4 y que su sombrero, inevitablemente, es azul. El quinto jugador anuncia “azul” (4) y se salva.

Creo que este caso de siete colores y el uso del resto es suficientemente complicado como para hacer uso de un segundo ejemplo. Supongamos que yo –el último de la fila– veo violeta, verde, amarillo y azul. Mi código es, por tanto, 6324, cuya suma es 15 y su resto 1. Anuncio, por lo tanto, “naranja” (1). Mi sombrero es irrelevante para los demás, ya que no uso mi turno para intentar salvarme sino para darles información, pero supongamos que esta vez, por justicia divina, mi sombrero resulta ser precisamente de color naranja y me salvo.

El segundo jugador ve los sombreros 324. Obtiene un código de 9, cuyo resto es 2. Dado que escuchó que yo dije 1, al restar obtiene 1-2=-1, lo cual se convierte en -1+7=6. Su sombrero debe ser violeta, de modo que anuncia “violeta” (6) y se salva.

El tercer jugador ve frente a sí los sombreros 24, a los cuales añade el sombrero que ha escuchado por parte del segundo jugador, 6, lo cual significa 624. El código es la suma, 12, y el resto es 5. La única diferencia ahora entre el primer jugador y él es su propio sombrero. El primer jugador anunció 1, con lo que 1-5=-4, y -4+7=3. Su sombrero es verde, luego él anuncia “verde” (3) y se salva.

El cuarto jugador sólo ve el sombrero 4, pero ha escuchado los sombreros 6 y 3. Por tanto, su código es 6+3+4=13. El resto es 6, lo cual restado al color anunciado por el primer jugador (1) es 1-6=-5, y-5+7=2. Su color es amarillo y así lo anuncia él: dice “amarillo” (2) y se salva.

Finalmente, el último jugador no ve ningún sombrero, pero ha escuchado todos menos el suyo: 6+3+2=11. El resto es 4. Dado que el primer jugador anunció 1, no hay más que hacer 1-4=-3, y -3+7=4. Su sombrero es el código 4, es decir, azul. Anuncia “azul” y se salva.

Lo interesante de esto es que esta estrategia no sólo salva a todos los participantes menos a uno –y ese tal vez se salve, pero probablemente no–. Además, ¡funciona independientemente del número de participantes y de los posibles colores de sombreros! Creo que el número de participantes ya ha quedado claro que no influye. ¿Qué pasa con el número de colores?

Cuantos más colores hay, más difícil sería en principio adivinar cuál es el tuyo… pero si hay muchos colores, es posible transmitir mucha información al anunciar un color. Si hay 50 posibles sombreros podemos contar el número total de colores y hacer la división entre 50 para obtener el resto, y todo es exactamente igual que en el caso anterior. La única diferencia es que si hay muchos posibles colores hace falta más memoria para recordar el código y las divisiones son más grandes.

Pero no somos simples monos, ¿no? Si queremos sobrevivir tendremos que demostrar de lo que somos capaces.

En cualquier caso, esto es un simple juego sin propósito práctico: no tiene por qué suceder que nos invadan y sometan a estos absurdos experimentos. No hay la menor razón para preocuparse y puedes continuar con tu vida como si no quedasen unos pocos años antes de la Invasión Final. En serio.

Pero, si se produce, estamos preparados.

 

___

Pedro Gómez-Esteban González. (2009). El Tamiz. Recuperado de: https://eltamiz.com