La fórmula de Planck para la radiación del cuerpo negro describe cómo la energía es emitida por un cuerpo negro en función de la frecuencia y la temperatura. Para asegurar el equilibrio térmico, la energía que un cuerpo negro absorbe debe ser igual a la energía que emite. Matemáticamente, esto se puede demostrar usando la ley de Planck y el concepto de equilibrio térmico, junto con la ley de Stefan-Boltzmann.
La fórmula de Planck para la densidad espectral de energía de la radiación emitida por un cuerpo negro es:
$$
[ \rho(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} \frac{h \nu}{e^{h \nu / k_B T} - 1} ]
$$
Donde:
- $ \rho(\nu, T) $ es la densidad espectral de energía (energía por unidad de volumen y por unidad de frecuencia) a la frecuencia $ \nu $ y temperatura $ T $.
- $ h $ es la constante de Planck.
- $ c $ es la velocidad de la luz.
- $ k_B $ es la constante de Boltzmann.
- $ T $ es la temperatura del cuerpo negro.
Energía Emitida Total
Para encontrar la energía total emitida por unidad de área de la superficie del cuerpo negro, debemos integrar $ \rho(\nu, T) $ sobre todas las frecuencias y considerar todas las direcciones de emisión. Esto se hace calculando la energía total radiada por unidad de área (potencia por unidad de área), que se conoce como la ley de Stefan-Boltzmann:
$$
[ E = \int_0^\infty \rho(\nu, T) \, d\nu ]
$$
La ley de Stefan-Boltzmann establece que la potencia radiada por unidad de área de un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta $ T $:
$$
[ j^* = \sigma T^4 ]
$$
Donde:
- $ j^* $ es la potencia radiada por unidad de área.
- $ \sigma $ es la constante de Stefan-Boltzmann, $ \sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W m}^{-2} \text{K}^{-4} $.
Equilibrio Térmico
En equilibrio térmico, un cuerpo negro no cambia su temperatura con el tiempo, lo que implica que la energía que absorbe es igual a la energía que emite. Si la energía absorbida y la energía emitida no fueran iguales, el cuerpo cambiaría su temperatura, lo que violaría el supuesto de equilibrio térmico.
Demostración Matemática
Para demostrar matemáticamente que la energía absorbida es igual a la energía emitida, consideramos las siguientes condiciones:
- Energía Absorbida: Un cuerpo negro absorbe toda la radiación incidente. La energía absorbida depende de la temperatura del entorno $ T_{\text{env}} $.
- Energía Emitida: La energía emitida por el cuerpo negro se describe por la ley de Stefan-Boltzmann, proporcional a $ T^4 $.
Para un cuerpo negro en equilibrio térmico con su entorno, la energía absorbida por el cuerpo (a temperatura $ T_{\text{env}} $) es:
$$
[ E_{\text{abs}} = \sigma T_{\text{env}}^4 ]
$$
Y la energía emitida por el cuerpo negro (a temperatura $ T $) es:
$$
[ E_{\text{emit}} = \sigma T^4 ]
$$
En equilibrio térmico, $ T = T_{\text{env}} $, por lo tanto:
$$
[ \sigma T_{\text{env}}^4 = \sigma T^4 ]
$$
Esto demuestra que la energía absorbida por el cuerpo negro es exactamente igual a la energía emitida, cumpliendo con el principio de conservación de energía en equilibrio térmico.
La fórmula de Planck, junto con la ley de Stefan-Boltzmann, asegura que en equilibrio térmico, la energía que absorbe un cuerpo negro es igual a la energía que emite. Matemáticamente, esto se refleja en la igualdad de las expresiones de energía absorbida y emitida cuando el cuerpo negro y su entorno están a la misma temperatura. Este equilibrio es fundamental para la física de la radiación del cuerpo negro y fue crucial en el desarrollo de la teoría cuántica.
¿Otras geometrías?
En el contexto de la radiación de cuerpo negro, el término "cuerpo negro" se refiere a un objeto idealizado que absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él y, en equilibrio térmico, emite radiación de acuerdo con la ley de Planck. Aunque el modelo de cuerpo negro es independiente de la geometría del objeto en términos de la ley de radiación, la forma y dimensiones del cuerpo negro pueden afectar cómo se calcula y aplica esta teoría en la práctica.
Geometría del Cuerpo Negro
- Cuerpo Negro Ideal (Teórico)
- En teoría, un cuerpo negro ideal puede tener cualquier forma y aún así cumplir con las propiedades de absorción y emisión de radiación. Esto es porque las leyes fundamentales de la radiación del cuerpo negro, como la ley de Planck y la ley de Stefan-Boltzmann, se aplican de manera general.
- La radiación de un cuerpo negro ideal depende únicamente de su temperatura, no de su forma o tamaño.
- Prácticas Experimentales y Geometría
- Superficies 2D: Un cuerpo negro puede ser modelado como una superficie plana (como una lámina delgada) en la práctica. Para superficies bidimensionales, se considera la energía radiada por unidad de área. La ley de Stefan-Boltzmann se usa para calcular la energía emitida por unidad de área.
- La energía emitida por unidad de área $((j^))$ de una superficie plana es:
$$
[ j^ = \sigma T^4 ]
$$
- Objetos 3D: Para objetos tridimensionales, la energía total radiada dependerá de la superficie total del objeto. La ley de Stefan-Boltzmann se usa para calcular la energía total radiada multiplicando la energía radiada por unidad de área por el área superficial total del objeto.
- La energía total $((E_{\text{total}}))$ radiada por un objeto tridimensional es:
$$
[ E_{\text{total}} = \sigma T^4 A ]
$$
Donde (A) es el área superficial total del objeto.
- Punto (Dimensión 0D)
- Un punto en el espacio no tiene área superficial y, por lo tanto, no puede radiar energía de la misma manera que un objeto con dimensiones físicas.
- En la práctica, un "cuerpo negro puntual" no tiene significado físico en el contexto de la radiación, ya que la emisión de radiación depende de la superficie a través de la cual se emite.
Consideraciones Prácticas
En la práctica, los cuerpos negros reales son aproximaciones y pueden tener diferentes geometrías, como esferas, cavidades o superficies planas. Estos cuerpos se utilizan en experimentos y aplicaciones para estudiar la radiación térmica y validar las leyes teóricas.
- Cavidad: Un método común para crear un cuerpo negro casi perfecto es usar una cavidad con una pequeña abertura. La radiación que entra en la cavidad es absorbida casi completamente, y la radiación emitida a través de la abertura sigue la ley de Planck.
- Esfera: Una esfera es otra geometría comúnmente usada para simplificar los cálculos y experimentar con cuerpos negros debido a su simetría.
En teoría, un cuerpo negro puede tener cualquier geometría en términos de sus propiedades ideales de absorción y emisión de radiación. Sin embargo, en la práctica, la geometría del objeto influye en cómo se calcula la energía radiada y absorbida. Superficies planas y objetos tridimensionales con área superficial finita pueden ser utilizados para modelar cuerpos negros, mientras que un punto, al no tener área, no es físicamente significativo para este propósito.
¿Un cuerpo negro cosmológico?
La idea de que el universo se comporte como un cuerpo negro es intrigante y ha sido explorada en varios contextos, especialmente en la cosmología y la física teórica. Vamos a desglosar esta idea y ver cómo puede aplicarse y entenderse.
El Universo como un Cuerpo Negro
- Radiación de Fondo de Microondas (CMB)
- El ejemplo más claro de un comportamiento de cuerpo negro en el universo es la radiación de fondo de microondas (CMB). Esta radiación es el remanente del Big Bang y tiene un espectro de cuerpo negro casi perfecto con una temperatura de aproximadamente 2.7 Kelvin.
- La CMB es evidencia de que el universo en su conjunto emite radiación de cuerpo negro, lo que sugiere que en sus primeras etapas, el universo estaba en un estado de equilibrio térmico.
- Equilibrio Térmico y el Universo
- Un cuerpo negro ideal absorbe toda la radiación incidente y emite radiación según su temperatura. En el caso del universo, no hay un "exterior" del cual pueda absorber energía, por lo que toda la energía debe provenir de su interior.
- En las primeras etapas del universo, se cree que estaba en un estado de equilibrio térmico casi perfecto, lo que permitió que la CMB tenga el espectro de cuerpo negro que observamos hoy.
- Energía Interna del Universo
- La energía en el universo proviene de varias fuentes internas, como la radiación térmica, las reacciones nucleares en las estrellas, y la materia oscura y energía oscura que aún no comprendemos completamente.
- En un sentido amplio, si consideramos el universo como un sistema cerrado, toda la energía presente es parte del contenido energético del universo y se transforma y redistribuye internamente.
Cosmología y Termodinámica del Universo
- Segunda Ley de la Termodinámica
- La segunda ley de la termodinámica afirma que en un sistema cerrado, la entropía (una medida del desorden) siempre aumenta. El universo, considerado como un sistema cerrado, está en constante expansión y enfriamiento, lo que afecta su estado térmico.
- La expansión del universo enfría la radiación CMB, pero no altera su naturaleza de cuerpo negro, solo su temperatura.
- Horizonte de Eventos Cósmicos
- El universo observable tiene un "horizonte de eventos" más allá del cual no podemos observar debido a la velocidad finita de la luz y la expansión acelerada del espacio.
- Este horizonte de eventos se comporta de manera análoga a un horizonte de agujero negro en ciertos aspectos, como la radiación Hawking teórica de los agujeros negros, que también tiene un espectro de cuerpo negro.
Implicaciones Teóricas
- Modelo de Universo Cuerpo Negro
- Considerar el universo como un cuerpo negro puede llevar a modelos teóricos interesantes sobre su evolución térmica y su destino final. Por ejemplo, en un escenario de "Big Freeze", el universo se expandiría y enfriaría hasta que alcanzara un estado de energía térmica mínima.
- En estos modelos, el equilibrio térmico y la distribución de energía interna juegan roles cruciales en determinar la evolución del universo.
- Fluctuaciones Cuánticas y Energía del Vacío
- Las fluctuaciones cuánticas y la energía del vacío (energía oscura) también contribuyen a la energía interna del universo y afectan su comportamiento térmico y dinámico.
- Aunque no se comportan como la radiación térmica clásica, son fundamentales para la dinámica del universo en escalas cosmológicas.
El concepto de que el universo se comporta como un cuerpo negro tiene fundamento en la observación de la radiación de fondo de microondas y la distribución interna de la energía. Aunque no hay una "fuente externa" de energía, la energía interna del universo proviene de procesos nucleares, radiación, y energías asociadas con la materia oscura y la energía oscura. Este enfoque proporciona un marco interesante para entender la evolución térmica y dinámica del universo a lo largo del tiempo.
¿Conocer la energía del Big Bang a partir de la energía del CMB?
Medir la cantidad de energía en toda la geometría de la radiación de fondo de microondas (CMB) nos proporciona información valiosa sobre las condiciones tempranas del universo, pero inferir directamente la energía total del momento del Big Bang a partir de esta medición requiere considerar varios factores adicionales y no es un proceso directo. Aquí te explico por qué y cómo se relacionan estos conceptos.
Radiación de Fondo de Microondas (CMB)
- Características de la CMB:
- La CMB es la radiación remanente del Big Bang, observada hoy en día a una temperatura de aproximadamente 2.7 Kelvin.
- Su espectro es el de un cuerpo negro casi perfecto, lo que refleja el estado de equilibrio térmico del universo cuando la radiación se desacopló de la materia, aproximadamente 380,000 años después del Big Bang.
- Energía de la CMB:
- La densidad de energía de la CMB puede calcularse usando la ley de Stefan-Boltzmann: $$ [ \rho_{\text{CMB}} = \frac{a T^4}{c} ] $$ Donde:
- ( a ) es la constante de radiación.
- ( T ) es la temperatura de la CMB (2.7 K).
- ( c ) es la velocidad de la luz.
Evolución del Universo
- Expansión del Universo:
- El universo se ha expandido significativamente desde el Big Bang. Esta expansión afecta la densidad de energía de la radiación.
- La temperatura de la CMB disminuye a medida que el universo se expande, y su densidad de energía también disminuye con el volumen del universo.
- Relación de la Energía con el Tiempo:
- La densidad de energía de la radiación $(( \rho ))$ en un universo en expansión se escala con el factor de escala (( a(t) )) de la siguiente manera:
$$
[ \rho \propto \frac{1}{a(t)^4} ]
$$
- Condiciones Iniciales del Big Bang:
- Inmediatamente después del Big Bang, el universo era extremadamente caliente y denso. La energía de la radiación, así como la energía contenida en las partículas y otros campos, era mucho mayor.
- La energía total en un volumen comóvil del universo permanece constante (en ausencia de creación de partículas o energía), pero la densidad de energía cambia a medida que el universo se expande.
Estimación de la Energía Inicial
Para estimar la energía en el momento del Big Bang a partir de la energía observada de la CMB, se deben considerar varios factores:
- Temperatura Inicial:
- La temperatura del universo justo después del Big Bang (la época de Planck) era extremadamente alta, mucho mayor que la temperatura de la CMB.
- Factor de Escala:
- Usando la relación entre la temperatura y el factor de escala del universo, podemos extrapolar la temperatura actual de la CMB hacia atrás en el tiempo.
- Si $( T_{\text{CMB}} )$ es la temperatura de la CMB hoy y $( T_{\text{initial}} )$ es la temperatura en una época temprana, entonces:
$$
[ T_{\text{initial}} = T_{\text{CMB}} \cdot \left( \frac{a_{\text{now}}}{a_{\text{initial}}} \right) ]
$$
- Densidad de Energía Inicial:
- La densidad de energía en la época temprana del universo puede extrapolarse usando la relación:
$$
[ \rho_{\text{initial}} = \rho_{\text{CMB}} \cdot \left( \frac{a_{\text{now}}}{a_{\text{initial}}} \right)^4 ]
$$
- Donde ( a_{\text{now}} ) es el factor de escala actual y ( a_{\text{initial}} ) es el factor de escala en la época inicial.
Consideraciones Prácticas
- Modelo Cosmológico:
- Las estimaciones dependen del modelo cosmológico usado para describir la expansión del universo. El modelo estándar de cosmología, basado en la relatividad general y el Big Bang, proporciona el marco para estas extrapolaciones.
- La constante de Hubble y otros parámetros cosmológicos influyen en las estimaciones.
- Mediciones Observacionales:
- Las mediciones de la CMB, como las proporcionadas por experimentos como COBE, WMAP y Planck, nos dan información precisa sobre la densidad de energía y la temperatura de la CMB.
Conclusión
Aunque no podemos medir directamente la energía del universo en el momento del Big Bang, podemos usar la información de la CMB y otros datos cosmológicos para hacer extrapolaciones sobre las condiciones iniciales del universo. Estas estimaciones requieren un marco teórico sólido y dependen de nuestra comprensión de la expansión del universo y de la física de altas energías. La energía de la CMB actual nos da una "instantánea" del universo cuando tenía aproximadamente 380,000 años, pero comprender la energía del Big Bang implica extrapolar hacia atrás en el tiempo usando la teoría cosmológica y la física de partículas.
