La adquisición del Banco Estelar de Deneb

Por razones absurdas, los viejos del lugar tenéis cierto afecto autodestructivo a los terribles, abyectos, crudelísimos y babosos Alienígenas matemáticos, con los que exploramos de vez en cuando aspectos interesantes de las matemáticas, combinando explicaciones inanes con humor negro y desagradable. Si no conoces esta serie, es muy probable que este artículo no te guste, y mi recomendación es que no lo leas: a menudo dice lo contrario de lo que quiere decir, no suele llegar a conclusiones útiles ni interesantes y, dicho lisa y llanamente, su lectura es ortogonal a cualquier uso práctico del período temporal que requiere.

Tras relatar la caída de Larnermanudol, el temido Carcelero Mayor de Loobe, debido a un desliz al presentar su ingenioso sistema de filtrado de prisioneros al Virrey de Proción, hoy cambiamos de tercio y hablaremos sobre el maravilloso número e y una de las maneras de obtenerlo. Ya imagino que muchos de vosotros conocéis más de una definición del número, y sabéis obtenerlo, pero espero que el artículo de hoy –eliminando antes, por supuesto, los detalles surrealistas de la historia– puede ser útil si se quiere explicar a alguien que no lo conoce, no tanto el valor de ese número, sino qué significa en cierto sentido, y producir el “encendido de bombilla” que tanto satisface al aprender algo nuevo.

De hecho, es seguro que dedicaremos algún artículo más al número e, pero con éste mi intención es sencilla: hacer ver cómo, por extraño que sea su valor, su existencia y características son absolutamente inevitables debido a la naturaleza básica de nuestras matemáticas, ya que aparece al realizar muchos razonamientos aparentemente simples que llevan a conclusiones… bueno, mejor dejamos eso para la historia en sí. En cualquier caso, aunque aquí aparezcan seres horripilantes y situaciones absurdas, el razonamiento que emplearemos será razonablemente similar al que realizó el primer matemático que definió esta constante, aunque con consecuencias muy distintas. En otros artículos seguramente llegaremos al valor de e de otras formas diferentes.

La adquisición del Banco Estelar de Deneb

Pocas instituciones financieras en la Galaxia tenían el prestigio del Banco Estelar de Deneb. La honestidad y la eficacia del BED, inauditas en cualquier otro sistema estelar, lo habían convertido en el banco de referencia en su brazo galáctico. Las acciones del BED cotizaban a precios muy elevados en la Bolsa Galáctica y, aunque se trataba de un negocio que proporcionaba pingües beneficios, su reputación y las expectativas de su crecimiento lo hacían una muy mala adquisición a un coste tan exorbitado. Sólo hubo un bache en la historia del BED, y nuestra historia comienza unos días antes.

El magnate Lurcobbinelajo, un Alienígena matemático cuya fortuna abarcaba sectores enteros, había puesto su mirada multiocular sobre el Banco Estelar de Deneb meses atrás. Sin embargo, aunque el hambre y la ambición de Lurcobbinelajo eran tan intensas que lo corrorían por dentro, la adquisición del BED al precio de su acción era un movimiento estratégicamente muy torpe, y si algo no era Lurcobbinelajo era torpe. De modo que, como buen Alienígena matemático, el baboso ser ideó un malévolo plan para desplomar el precio de la acción del BED y poder así adquirir el banco con un coste razonable.

El BED era de una gran eficacia, entre otras cosas, porque no empleaba ordenadores. En vez de ello hacía uso de una especie de características únicas en la Galaxia, como sucede con tantas otras: los maravillosos vamisos de Petrovichi, procedentes de un gélido planeta que gira alrededor de una estrella moribunda. Estos seres no son grandes, ni rápidos, ni fuertes, ni tienen la menor creatividad o habilidad social; de hecho, muchos estudiosos sospechan que los vamisos son seres artificiales cuyos creadores se extinguieron hace mucho tiempo, aunque nadie le diría eso a un vamiso a la cara, pues es terriblemente ofensivo para ellos. Sin embargo, estos seres son capaces de realizar cálculos y pensamiento lógico a una velocidad varios órdenes de magnitud superior a la de cualquier otro ser vivo en la Galaxia y la mayor parte de las máquinas y con una precisión absoluta. Además, los vamisos carecen de ambición o avaricia, con lo que trabajan placenteramente a cambio de lo único en el Universo que los hace realmente felices: las alcaparras.

La conquista de la Tierra por parte de los Alienígenas matemáticos proporcionó a la Galaxia un suministro continuado de alcaparras, lo que convirtió a los vamisos en un sustituto barato y eficacísimo de las computadoras. : ofrécele una alcaparra a un vamiso de Petrovichi y realizará cálculos con raíces cúbicas como si le fuera la vida en ello. De modo que el BED operaba con vamisos, y el olor a encurtidos llenaba las oficinas de cualquiera de sus sucursales – un pequeño precio que pagar a cambio de los cálculos de precisión extrema que realizaban las criaturas.

Es más, cuando por alguna razón un vamiso no era capaz de resolver un problema en cierto tiempo, inmediatamente se ponía en contacto con el más cercano para pensar juntos en él. De este modo, cuando un cálculo era muy largo, podían computarlo en paralelo y llegar así más rápido a la solución.

El punto débil del BED, a los ojos de Lurcobbinelajo, era precisamente el uso de los vamisos de Petrovichi, cuyas mentes funcionaban con tal rigidez y literalidad que era posible bloquearlos o hacer que llegasen a conclusiones paralizantes con bastante facilidad. Era una norma global en todas las oficinas del BED, por ejemplo, la prohibición de mencionar enigmas lógicos en los que apareciesen barberos. Además, el banco se jactaba de su honestidad extrema, su precisión absoluta y de ser siempre lógico y justo en el tratamiento de sus clientes… y el baboso multimillonario galáctico sabía exactamente cómo sacar partido a ambas cosas.

De modo que, una mañana, Lurcobbinelajo acudió a la oficina del BED frente al edificio donde tenía su despacho. Al llegar a la ventanilla, se encontró con un adorable Lémur de Magallanes que lo reconoció inmediatamente –Lurcobbinelajo era el dueño de medio planeta– y se dirigió a él con su vocecilla lemúrida y un gran respeto.

“Bienvenido al Banco Estelar de Deneb, señor Lurcobbinelajo”, dijo el Lémur. “¿En qué podemos ayudarlo?”

“Quiero invertir en su cuenta 100%”, respondió suavemente el monstruo, poniendo sobre el mostrador un único billete de 1§, una cantidad irrisoria. “Según tengo entendido”, continuó sususrrando la criatura, “se me proporcionará un 100% de interés en un año”.

“Desde luego, desde luego”, confirmó el cajero, algo confuso, cogiendo el billete con su manita. “Se trata de una cantidad muy pequeña, pero el BED no tiene mínimos de ingreso, de modo que no hay problema. En un año usted habrá recibido un 100% de interés, es decir, 1§ adicional, con lo que tendrá 2§. ¿Hay algo más en lo que podamos ayudarlo?”

Varios de los ojos de Lurcobbinelajo pestañearon lentamente, fijos en la pequeña y peluda criatura frente a él, que sintió un leve escalofrío. “Sí, la verdad es que sí. Tengo una pregunta.” Algunos comentan que, esa misma tarde, el cajero comentó a otros empleados que al escuchar esa frase estuvo ya seguro de que todo estaba perdido para el banco, pero es imposible estar seguros de ello. En cualquier caso, el Lémur sonrió solícitamente, controlando su nerviosismo, y preguntó con amabilidad:

“Por supuesto. En el BED estamos para servirle. ¿Cuál es su duda?”

El Alienígena se relamió los enormes labios con una lengua húmeda y humeante. “Bien, tengo entendido que su banco es siempre equitativo y justo. ¿Qué sucedería si no espero el año entero para retirar mi dinero? ¿Si, por ejemplo, lo retiro cuando haya pasado la mitad del tiempo?”

“Bueno, la duración del depósito es de un año, señor, con lo que…“, respondió el Lémur.

“Ya lo sé”, interrumpió Lurcobbinelajo y esparciendo algunas babas sobre el mostrador. “Pero no es una norma tan justa como pretende ser su banco. Se me computa el interés al final de todo el año, de modo que el interés adquirido durante la primera parte no cuenta para generar dinero en la segunda. Al fin y al cabo, no habría tanta diferencia para ustedes si me permitieran sacar el dinero cuando ha pasado la mitad de tiempo y darme, por tanto, la mitad del interés entonces.”

Aquí es donde cualquier banco normal se hubiera plantado, por supuesto: los bancos no cambian las normas ni añaden una nueva porque un cliente argumente nada… pero no el BED. Parte de la razón de su enorme éxito era precisamente ésa – la capacidad de adaptarse, dentro de lo posible, a situaciones nuevas y necesidades o peticiones de sus clientes.

“Espere un momento, por favor”, dijo el cajero, y desapareció tras la ventanilla. Unos minutos más tarde, apareció de nuevo ante Lurcobbinelajo. “La Central ha aprobado su petición, considerándola justa y razonable. Puede usted retirar su dinero cuando haya pasado la mitad del tiempo, y recibir entonces la mitad de interés. Si ingresa 1§ y lo retira a los seis meses, obtendrá entonces la mitad del interés total, 0,50§”.

Lurcobbinelajo asintió, agitando sus tentáculos de una manera desasosegadora para el Lémur, que se escondió tras el mostrador. “¿Desea usted alguna cosa más?”, preguntó, tembloroso.

“Nada más”, ronroneó el monstruo, y se alejó sin dar las gracias –una actitud, por otro lado, muy común entre los Alienígenas matemáticos, de modo que el Lémur simplemente se encogió de hombros y siguió con su trabajo–.

Sin embargo, al día siguiente el pobre Lémur se encontró con Lurcobbinelajo frente al mostrador de nuevo, ¡y esta vez con algunos periodistas tras él! La boca del Alienígena matemático se abrió en una sonrisa al reconocer al pobre Lémur, mostrando varias hileras de afilados dientes rezumantes de baba ácida. “S…s… ¿sí? ¿Qué desea, señor?”

“He estado pensando”, respondió acariciadoramente Lurcobbinelajo, ante lo que el Lémur tragó saliva y sus grandes ojos marrones miraron al otro, aterrados. “Si saco el 1§ que he ingresado cuando haya pasado un año, obtendré 1§ de interés, con lo que tendré 2§.” El cajero asintió. “Si saco el dinero a los seis meses, entonces obtendré 0,50§, con lo que tendré 1,50§.” El cajero volvió a asentir. “Por lo tanto, si saco el dinero a los seis meses y vuelvo a ingresarlo de nuevo, y entonces espero los otros seis meses restantes, obtendré más dinero que si dejo el depósito todo el año de una vez”.

Aunque los Lémures de Magallanes no son las criaturas más inteligentes de la Galaxia ni mucho menos, el cajero asintió, complacido, pues la cosa era evidente. “Naturalmente, señor. 1§ durante seis meses supone 1,5§ al final de ese período, y al ingresar 1,5§ durante otros seis meses, obtendrá usted un 50% de interés sobre esa cantidad, es decir, 0,75§, con lo que en total dispondrá de 2,25§. De ahí que tuviese que pedir autorización para autorizar ese cambio, puesto que supone 0,25§ adicionales para usted al hacerlo de esta manera más exacta.”

“Sí, el interés compuesto es una cosa muy interesante”, respondió Lurcobbinelajo. “Pero si realizo el proceso tras tan sólo tres meses, entonces ganaré aún más”.

“Un momento, señor.” El Lémur presionó un botón, y un vamiso apareció pronto a su lado. La pequeña criatura recién llegada era de menos de un metro de altura, de piel grisácea y pequeños ojos negros como botones, sin pelo de ningún tipo, ni ropa, ni expresión facial, ni nada de nada. El Lémur susurró al oído del pequeño vamiso, que cerró los ojos un instante y respondió al Lémur en un susurro. Mientras, los periodistas se mantenían, expectantes, tras la masa gelatinosa del Alienígena matemático, que los tenía que haber llamado por alguna razón.

“Correcto”, confirmó el Lémur a Lurcobbinelajo. “Si en vez de hacer la inversión en un año la hace usted en dos pasos, obtiene 2,25§, pero si la hace en cuatro pasos obtiene 2,44140625§. El primer trimestre corresponde a un 25% de interés, con lo que retira usted 1,25§. Al ingresar 1,25§ durante un trimestre obtiene el 25% de interés y retira 1,5625§, que ingresa durante un trimestre para retirar un 25% más, es decir, 1,953125§, que ingresa de nuevo para el último trimestre, obteniendo al final 2,44140625§.” El BED, por supuesto, no utilizaba céntimos como cantidad mínima en sus transacciones, ya que se jactaba de precisión absoluta – empleaba tantos decimales como hicieran falta en cada caso. “Como puede ver, siempre tenemos su mejor interés en mente, y obtiene usted bastante más de lo que obtenía con la regla inicial de mantener el dinero un año”.

“Sí, sí… son ustedes muy generosos”, sonrió afablemente Lurcobbinelajo, que se volvió entonces a los periodistas. “El BED es de una justicia y precisión extremas”, les dijo, mirando a cada uno con un ojo. “Al suavizar el cálculo del interés a lo largo de los trimestres, el interés que obtengo al principio me renta durante el resto del tiempo, con lo que gano bastante más dinero que antes. ¡Qué banco más extraordinario!” Los periodistas estaban encantados: el BED era el banco de referencia, y Lurcobbinelajo el multimillonario de referencia, pero nunca había depositado un solo § en él. Ahora, por fin, Lurcobbinelajo parecía comprender la valía del Banco Estelar de Deneb.

Al día siguiente, los titulares en varios diarios del Sector eran claros:

EL INTERÉS COMPUESTO DEL BED, MÁS EXACTO QUE EL DE CUALQUIER OTRO BANCO.

TODOS LOS BANCOS DEBERÍAN COMPUTAR EL INTERÉS TRIMESTRALMENTE

LURCOBBINELAJO: “SON USTEDES MUY GENEROSOS”

Las acciones del BED subieron varios puntos ese día, y todo parecía ir bien. Pero, naturalmente, las cosas no iban bien: iban fatal. Lurcobbinelajo y los periodistas estaban allí de nuevo a la mañana siguiente, y el Lémur se cubrió la cara con una manita peluda y adorable.

“¿Puedo ayudarle en algo?”, preguntó, temiendo ya lo que iba a venir.

“Pues sí, la verdad es que sí”, respondió Lurcobbinelajo. “No me parece justo que el interés se compute cada trimestre únicamente, ya que entonces, el dinero que gano el primer mes no sirve para generar interés durante los otros dos. Creo que lo que haré será sacar el dinero cada mes e ingresarlo de nuevo, de modo que el interés se compute mes a mes y no trimestre a trimestre. ¿Cuánto tendré entonces al final del año?”

–Antes de seguir, estimado lector, es conveniente que cojas una calculadora y, si es necesario, un lápiz y un papel, y lo calcules tú mismo. Si Lurcobbinelajo deposita 1§ y lo retira al cabo de un mes, luego ingresa el resultado y lo retira al cabo de un mes, etc., ¿cuánto tendrá al final?–

El Lémur pulsó el botón, e ipso facto un vamiso apareció a su lado. Tras la conversación a susurros, la pequeña criatura gris cerró los ojos durante un instante y respondió en voz baja al Lémur, que sonrió nerviosamente a Lurcobbinelajo.

“Cada mes obtendrá 100%/12, es decir, un interés del 8,3333…%. De modo que al cabo de doce meses, la cantidad total será (1+0,08333…) * (1+0,083333) * (1,08333…), y así doce veces, es decir, (1+1/12)^12, lo que resulta ser 2,61303529022§. Pero, realmente, señor, la diferencia con la cantidad anterior es ahora bastante pequeña, y no veo por qué…“

“Es una cuestión de EXACTITUD”, respondió Lurcobbinelajo con un tono que hizo al Lémur acurrucarse, hecho una pequeña bola peluda, contra la pared. “No tiene sentido no computar el interés cada tres meses, entonces no me renta la cantidad inicial. De hecho… un mes es mucho tiempo. ¿Qué sucede si realizo el proceso cada día, para que el interés se compute de una manera más suave?”

El vamiso, que estaba escuchando, cerró los ojos un instante sólo ligeramente más largo que el anterior y susurró al oído del Lémur.

“En este caso, ya que hay 365 días en un año estándar ((por casualidades de la vida, el año estándar galáctico es muy parecido al nuestro)), el resultado es (1+1/365)^365, es decir, 2,71456748202§”. El vamiso dio unos golpecillos en la pierna del Lémur para llamar su atención, y luego susurró de nuevo en su oído.

“Mi colega me indica, por si va usted a preguntarlo ahora, que si el cálculo se hace aún más exacto y calculamos el interés con una precisión muchísimo mayor, el resultado casi no cambia. Me está diciendo que, si en vez de en 365 pasos lo hacemos en un millón de pasos, el resultado final es (1+1/1000000)^1000000, es decir, 2,71828046932§.”

“Sí, sí… pero eso no sigue siendo exacto. ¡Estamos partiendo el tiempo en trozos discretos, durante cada uno de los cuales mi dinero no me renta interés de verdad!”, rugió Lurcobbinelajo, lanzando espumarajos verdosos por la boca que ducharon al Lémur, al vamiso y a varios de los periodistas, que tenían los ojos muy abiertos. “¡Quiero saber cuánto tendré al final si el interés se computa de manera continua durante todo el año!”

El Lémur miró al vamiso, que cerró los ojos… y el silencio en la sala era tremendo. Al cabo de diez segundos, el pequeño ser llamó al vamiso más cercano y le contó el problema, y ambos cerraron los ojos. Sin embargo, al cabo de diez segundos no habían llegado a una respuesta, de modo que ambos se dirigieron a los dos vamisos más cercanos, y los cuatro cerraron los ojos. A los pocos minutos, todos los vamisos del banco estaban con los ojos cerrados, y al cabo de dos horas, tres sistemas estelares estaban en la misma situación. Mientras, Lurcobbinelajo sonreía más y más, hasta que los extremos de su boca casi se tocaban por detrás de su cabeza.

Los titulares del día siguiente eran muy distintos a los anteriores:

EL BED SUSPENDE TODAS SUS TRANSACCIONES TEMPORALMENTE

LOS VAMISOS, COLAPSADOS

¿CUÁNTO SE OBTIENE AL COMPUTAR EL INTERÉS TODO EL TIEMPO?

LURCOBBINELAJO: “NO ME CONFORMO CON UN DÍA, NI CON UN SEGUNDO. ¡MI DINERO DEBE ESTAR PRODUCIENDO TODO EL TIEMPO!”

Las acciones del BED, incapaz de operar, con todos los vamisos pensando absortos y ningún otro vamiso a quien acudir, se desplomaron a la mitad de su valor del día anterior. Naturalmente, Lurcobbinelajo adquirió todas las acciones disponibles, y se encontró dueño del 64% del banco más eficaz de la Galaxia… o, al menos, el más eficaz hasta el día anterior. El problema era, por supuesto, que era dueño de un banco inoperativo, con vamisos bloqueados tratando de llegar a una respuesta imposible.

Sin embargo, Lurcobbinelajo no había llegado hasta este punto ciegamente: tenía un plan muy claro. En cuanto se sentó en la silla de su despacho en la sede central del BED al día siguiente, puso una llamada a su principal contacto en la Secretaría Económica del Virreinato local: Lurcobbinelajo tenía favores pendientes casi en todas partes, y sabía bien cuándo y cómo utilizarlos.

“Secretario Reluedrahnoel?”, ronroneó el monstruo mientras en la pantalla de su despacho aparecía la cara rojiza y aterciopelada del Secretario Económico del Virrey, que lo miró con tres ojos grandes y ligeramente asustados. “Llamo para pedirle un pequeño favor…“

“Por… por supuesto, su Vileza”, respondió apresuradamente Reluedrahnoel, utilizando de forma inconsciente un honorífico reservado estrictamente para la nobleza, al que Lurcobbinelajo no tenía ningún derecho. “¿De qué se trata?”

“Va usted a emitir un billete de una nueva denominación…“

Al día siguiente, los periódicos abrieron con titulares de letra aún más grande que el anterior:

NUEVO BILLETE VIRREINAL

NUEVO BILLETE CONFUNDE A LOS ECONOMISTAS

EL BANCO ESTELAR DE DENEB, OPERATIVO DE NUEVO

LAS ACCIONES DEL BED REPUNTAN BRUSCAMENTE

IMÁGENES DE LA NUEVA DENOMINACIÓN:

Según los vamisos iban viendo el nuevo billete, por razones desconocidas –ya que la letra e no debería significar nada para ellos– salían de su bloqueo y sonreían beatíficamente con sus pequeñas bocas, la expresión más emocional vista en ellos jamás: un alivio intenso y difícil de comprender para cualquiera excepto un vamiso o un Alienígena matemático. En unas horas, el BED funcionaba sin problemas otra vez y todo iba perfectamente.

Dos días después, un Lémur de Magallanes entró en la misma sucursal en la que Lurcobbinelajo había perpetrado su malévolo y retorcido plan. El Lémur vestía una extraña gabardina, un sombrero de ala ancha y unas gafas de sol demasiado grandes para su peluda cara.

“Hola, muy buenos días”, saludó la pequeña criatura al cajero, que no era el mismo interlocutor de Lurcobbinelajo (una baja temporal por razones personales). “Vengo a hacer un depósito”. El Lémur puso sobre el mostrador un billete, y carraspeó. “¿Cuánto obtendré al cabo de un año?”

El cajero miró al Lémur y luego al billete sobre el mostrador. Era un billete de e§.

Para saber más:

• Número e / e (mathematical constant)